第五节 正十二二十面体与碳-60

第 五节 正十二二十面体与碳－60

在学习完正四面体、正方体、正八面体以后，我们再来学另两种正多面体——正十二面体与正二十面体，以及用它们完美组合而成的碳－60的空间模型。

【讨论】在平面上，我们用单位正方形，可紧密地铺满一个无限平面；用单位正六边形也是可以紧密地铺满一个平面的；那么单位正三角形可以吗？由于一个六边形可分割成六个完全相同的正三角形，显然，单位正三角形也是可以的；再来看正五边形，它的每个顶点是108°（不

是360°的约数），如右图5-1所示，它在平面不可能铺满

图5-1

而不留任何空隙。在空间正多面体中，共一顶点的棱至少3条，共一顶点的夹角之和应小于360（如正方体270o，正八面体240o），因此正六边形不能在空间构成一个每个面是正六边形的正多面体，那么五边形是否可以构成正多面体呢？由于

3×108o＜360o，因此就存在可能性。如右图5-2所示，这就由

图5-2

正五边形构成的正多面体——正十二面体。请看例题1。

【例题1】如图5-2所示是十二面体烷的空间构型，写出它的化学式并计算它的一氯取代物和二氯取代物的数目。

【分析】在前几节，我们曾探讨了空间多面体中点、线、面的关系。在正十二面体中，每个面是正五边形，三条棱共一顶点，因此顶点数应为12×5/3=20，而棱数应为12×5/2=30。既然是空间正多面体，它的每个顶点必须是等价的，一氯取代物只可能是一种。我选定一个顶点，与它最近的顶点是3个（共棱），然后是6个，然后依次是6个，3个，1个，故二氯取代物有5种。

【解答】化学式C20H20，1种一氯取代物，5种二氯取代物。 【讨论】继续讨论上文的话题，当用正方形（90o）构成空间正多面体时，共顶点的也只可以是三条棱，故只有一种正多面体—正方体；当用正三角形（60o）构成空间正多面体时，共顶点的棱可以是三条、四条、五条，三条时是正四面体，四条 时是正八面体，五条时就是最后一个正多面体——正十二面体。图5-3 如图5-3所示，这就是由正三角形构成的空间正二十面体。请看例题2。 【例题2】晶体硼的基本结构单元是由硼原子组成的正二十面体（如图5-3所示），每个三角形均为正三角形，每个顶点为一硼原子。则每一个此基本单元由 个原子组成；该单元中有2个原子为10B（其余为11B），那么该结构单元有 种不同类型。

【分析】如同例题1，先根据20个正三角形计算顶点数为20×3÷5=12；

第 1 页 共 4 页

当选定1个顶点后，与它最近的顶点数为5个，然后就是5个和1个，即二取代物有3种。

【解答】12个 3种 【讨论】我们看一下正十二面体与正二十面体的关系，它们都是30条棱；其中正十二面体是12个顶点；正十二面体是20个顶点，而正二十面体是20个面。我们连接正十二面体的12个面的面心构成的空间图形就是正二十面体，再连接正二十面体的20个面的面心构成的空间图形就是正十二面体。 【练习1】正十二面体与正二十面体是否都存在三次轴和五次轴（n次轴表示绕该轴旋转360o/n与图形完全重合）。

【讨论】我们连接正十二面体的两个相对面的面心，就是一条五次轴，而连接相对顶点就是一条三次轴；那么正二十面体是否也存在类似的呢？ 【讨论】关于C60（如图5-4所示），大家已很熟悉，在这里我们只讨论它的空间结构。虽然C60不是一种空间正多面体，但它还是一种很完美的、对称性很强的空间多面体。C60中每个碳原子与3个碳原子相连，共12个五元环（正五边形）与20个六元环（正六边形）构成

C60的封闭多面体骨架。这里的12与20是否与正十二面

图5-4

体和正二十面体中的12、20有关系呢？其实，我们将正

二十面体截去 12个顶点剩下的多面体就是C60。那么怎么截呢？我们过二十面体的30条棱的三等分点去截12个顶点，由于1个顶点连出了5条棱，截面显然是个正五边形；原来的正三角形面在截取3个顶点后就变成正六边形了，原来的20个正三角形面就变成C60中的20个正六边形面了。 【例题3】1996年度诺贝尔化学奖授予三位大学教授，以表彰他们在1985年发现碳的球状结构。碳的球状结构，就是富勒烯家族的由若干个碳原子组成的笼状分子结构。这种笼状分子的典型代表是C60。C60是具有60个碳原子并组成1个酷似足球的笼状分子，如图5-4所示。

目前，化学家们已经找到十余种富勒烯家族的Cx，它们分子结构中都由正五边形和正六边形构成，C80是其中一种。列式计算C80中五边形和六边形的个数。①

【分析】我们设正五边形与正六边形数分别为a和b，利用点、线、面的空间关系可列式(5a+6b)/2＝80×3/2＝120 ①（120就是棱的数目），另外利用封闭多面体的不饱和度也可列式(a＋b－1＋40)×2＝80×2＋2 ②（40可认为是双键数）。由①②，我们可解得a＝12；b＝30。

在C80中，五边形数与在C60中五边形数是一样的（97年高考中的C70中五边形数也是12个），这儿是否有其内在规律呢？我们将①②式中的80改为x，将40改为x/2，这就是任意由五边形和六边形构成的富勒烯家族的Cx应满足的方程式。在解这两个方程时，消去 b的同时，也消去了x，并解

第 2 页 共 4 页

出a＝12。因此Cx中，五边形数都是12个。另外，x是不可能为奇数的，每增加2个碳原子，就增加1个六元环（在一个六边形的相对顶点串连两个点不就构成2个六边形了吗？例题1中的C20骨架是只有五边形构成的，与C60相比，正好少了40个碳原子和20个六元环。

【解答】12个五边形 20个六边形 【练习2】稠环分子的三维结构常常可以用角张力的减小得以解释。考虑十二面体烷（如图5-2所示）：②

1．哪一种构型（平面三角形120o；四面体109.5o；或者八面体90o）跟它的键角的角度最接近？

2．十二面体烷的的立体结构式跟哪一种杂化类型（sp、sp2 or sp3）最接近？

定义“连接处”为分子中任何一个三环体系共用的中心碳原子。试观察十二面体烷中用粗线标出的三个五角形（如

图5-5所示）。设有一根轴穿过连接处的中心碳原子，该轴

图5-5

跟三个C—C键的夹角是相同的（如图5－6所示）。

3．试作一个理智的猜测，对于十二面体烷，这个角度的精确到的数值是多大？

4．上述角度减去90o可以描述它们偏离平面性。十二面体烷的连接处是否是平面的？ 图5-6

现在再加富勒烯。所有己知的富勒烯中任何一个连接处偏离平面性都比十二面体烷小。对于C60，所有的连接处都是完全相同的。

已经证实存在比C60更小的富勒烯，例如C58。如果忽略C58

的结构中任何一个双键和单键的区别（如图5-7所示）。为清楚

图5-7

起见，把该分子中的连接处的中心碳原子标为A、B和C并用如图5-8所示标出。

5．哪一个连接处偏离平面性最小？哪一个最大？ A、B还是C？

最后考虑更大的富勒烯C180，作一级

近似，设C60和C180。都是“完美的”球

图5-8

体（如图5-9所示）。

6．它们的结构中哪一个连接处偏离平面性比较大些？是C60呢？还是C180？

7．C180中A、B、C型碳原子各有几个？ A 、B 、C

8．若把周围全是六边形的六边形的中心标出一个*，那

图5-9

么这些*构成的几何图形为

【讨论】在C180中，也是12个五边形，六边形数为(180－20)/2＝80。

第 3 页 共 4 页

12个五边形空间排布呈正二十面体（完美对称，十二个面心相当于正二十面体的12个顶点）。不可能有C型碳原子，五边形周围都是六边形，A型碳原子有5×12＝60个，即与五边形相邻的六边形有60个，当然剩下的20个六边形不与五边形相邻，它们在空间的完美对称排布应是一个正十二面体。 【练习3】C24H24有三种特殊的同分异构体A、B、C，它们都是笼状结构，不含有双键和三键；它们都只有一种一氧取代物，而二氯取代物不完全相同。试画出或说明A、B、C的碳原子空间构型和二氯取代物的具体数目，并比较A、B、C分子的稳定性。③

【讨论】只有一种一氯取代物，说明分子的对称性很强。先考虑一下五种正多面体，正方体与正八面体都有12条棱（24的约数），在棱上的三等分点是等价的，因此削去正方体的8个顶点和正八面体的6个顶点都可以。另外也别忘了十二棱柱烷。

【练习参考答案】

1．连接正二十面体的两个相对面的面心，就是一条三次轴，而连接相对顶点就是一条五次轴。

2．l．四面体 2．sp3 3．107o～114o都可以 4．不是平面的 5．B最小 C最大 6．C60

7．A 60 B 120 C 0 8．正十二面体

3．A．正方体去8个顶点， C原子组成8个正三角形和 6八边形；共有11种二氯取代物

B．正八面体去6个顶点， C原子组成6个正方形和8个正六边形；

共有11种二氯取代物

C．正十二棱柱；共有13种二氯取代物 稳定性：B＞A＞C

【附录】

①1998年全国化学竞赛预赛模拟试卷（三）第四题第2题（已上传） ②1999年全国化学竞赛预赛模拟试卷（七）第七题部分（已上传） ③1998年全国化学竞赛预赛模拟试卷（四）第五题（已上传）

第 4 页 共 4 页