创意平板折叠桌数学建模竞赛B题全国二等奖论文

2h?c越大，因此可以以cos()最大为目标。

a?2k对于一立体结构而言，如果重心所在的垂线落在结构体体面范围内就是稳定的，对于本题桌子结构体，桌面上任意一点都落在桌子结构体内，才能保证桌子的稳定，以此可得约束条件：

a(?k)2?(h?c)2?k?R， 2综上可建立下非线性规划模型：

2h?cmaxf?cos()，

a?2k?m22?k?R?(d)2??2R?2R?1, 为整数时 ????dd s.t.?m??2R2R??[]， 不为整数时??d?d??（a?k)2?(h?c)2?k?R??22h?c分析计算可得当f?cos()最大时，有

a?2ka(?k)2?(h?c)2?k?R， 2成立，四条支撑腿到结构面中心的距离相等。由此得出了稳固性最好时，桌子的支撑腿所构成的结构区域形状为正方形。

5.2问题一模型建立与求解

由于整个桌子是对称的，以圆形桌面俯视图中右下四分之一圆形桌面来考虑，题目所给图1的中与该四分之一的桌子相对应的示意图如下：

?1 d1

图1 桌角与桌面夹角示意图

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俯视圆形桌面，桌面上1/4的铰链从其中一侧与最外侧桌腿连接的铰链开始依次编号为1，2，?，10，如下图2所示：

10987654321

图2 桌腿编号图

设各桌腿中钢筋到相应铰链的距离为dn，其中n?1（n下同）设每条桌腿，2，?，10，与圆形桌面下底面夹角为?n，各桌腿端点坐标为pn，在桌子的折叠过程中dn，?n，pn，随桌子的高度的变化而变化，因此用dn，?n，pn的变化来描述折叠桌的动态变化过程。

为了求出dn，?n，pn，假设与圆形桌面最外侧桌腿连接的铰链处的直线，到与该直线平行且过圆心的直径距离为k，圆形桌面半径为R，其余各木条铰链到圆形桌面直径的距离设为bn，那么

R?252?k2，

（n?1bn?R2?[2.5(11?n）]2，，2，?，10）

由上式可以看出R，bn都是k的函数。

由于钢筋与桌面直径平行，且最外侧钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以最外侧桌腿与桌面的夹角

h)， 2d1?1?arcsin(?1如上图1所示，其中h为折叠桌的高度，d1为最外侧桌腿钢筋到相应铰链长度，且

d1?60-k， 2因为题中要求折叠后桌子的高度为53cm，而由于每根桌腿的厚度为3cm，所以高度

h?50cm。由余弦定理可以求得第二根桌腿钢筋到相应铰链长度：

d2?(b2?k)2?d1?2(b2?k)d1cos?1，

同样由余弦定理可以求得第三根桌腿钢筋到相应铰链长度：

d3?(b3?k)2?d1?2(b3?k)d1cos?1，

22以此类推可以求出：

6

dn?(bn?k)2?d1?2(bn?k)d1cos?1，（n?1，2，?，10）

2下面求各各桌腿与圆形桌面下底面夹角为?n，最外侧桌腿与圆形桌面下底面夹角为：

h)， 2d122?1?arcsin(对于第二根桌腿与圆形桌面下底面夹角为：

(b2?k)2?d2?d1， ?2?arccos2(b2?k)d2对于第三根桌腿与圆形桌面下底面夹角为：

(b3?k)2?d3?d1， ?3?arccos2(b3?k)d3以此类推对于第n根桌腿与圆形桌面下底面夹角为：

22(bn?k)2?dn?d1，(n?1?n?arccos，2，?，10)

2(bn?k)dn为了求各桌腿端点坐标为pn，以圆形桌面圆心为空间直角坐标系的原点，与最外侧形成的梯形上底平行的直径方向为x轴，圆形桌面垂直梯形上底的直径方向为y轴，圆形桌面过圆心的垂线为z轴，如下图3：

22

图3 桌子空间三维图

现先求出各桌腿端点x轴坐标和y轴坐标，各桌腿端点x轴坐标即为各桌腿底端距桌面直径的水平距离，设为xn，其中n?1，2，?，10；各桌腿端点z轴坐标即为各桌腿端点到桌面的距离，设为zn，其中n?1，2，?，10。

当?n大于90度时，各桌腿端点到桌面的距离：

zn?cos(?n?)fn，

2?7

其中，fn为桌腿长度，且

fn?60?bn，n?1，2，?，10

此时各桌腿端点横坐标即为各桌腿底端距桌面直径的水平距离：

xn?bn?fn?zn，

22当?n小于90度时，各桌腿端点到桌面的距离：

zn?sin(?n)fn，

此时各桌腿端点横坐标即为各桌腿底端距桌面直径的水平距离：

xn?bn?fn?zn，

22各桌腿端点y轴坐标设为yn，其中n?1，2，?，10，则：

yn?2.5(11?n)，

若给出k，便可求出在不同高度下的dn，?n，pn。由模型准备中的猜想证明可知，当支撑腿构成的结构面呈正方形时，桌子具有较好的稳固性。所以有

(2d1)2?h2?k?R，

综上，由下列方程组：

?(2d)2?h2?k?R1?22?R?25?k ?60-k?d1?2??h?50用LIONGO编程（程序见附录1）求解，得出k?6.3533cm。 因为

bn?252?k2?[2.5(11?n）]2，

且

k?6.3533cm，

所以bn是关于自变量n的函数，由此可以看出，第n条桌腿在钢筋位置处距相应桌腿铰链的距离

dn?(bn?k)2?d1?2(bn?k)d1cos?1，

dn是关于自变量n和?1的关系。对于给定的n，dn的函数关系只与最外侧桌腿与桌面的

2夹角?1有关，且?1?[0,]。由导数 2?(bn?k)d1?sin?1dn? ，

22(bn?k)?d1?2(bn?k)d1cos?1其中，

?8