江苏省苏北四市2017届高三上学期期中考试数学试题(解析版)

2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则?UA= ．

2．已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 ． 3．函数y=cos（x+

）的最小正周期为 ．

4．如图是一个算法的流程图，则输出x的值为 ．

5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 人．

6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ．

7．设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为 ．

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为 ．

9．将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的

右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是 ．

11．若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为 ．

12．已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为 ．

?

的取值范围是 ．

13．M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，已知AB为圆O的直径，则

2

14．已知函数f（x）=|x﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范

围是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（14分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3． （1）求角A的大小； （2）若c=3，求b的长．

16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证： （1）直线A1E∥平面ADC1； （2）直线EF⊥平面ADC1．

17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x+y﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2） （1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；

（2）在圆C上是否存在点P，使得PA+PB=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．

2

2

22

18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．

（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度； （2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．

19．（16分）在数列{an}中，已知a1=，an+1=an﹣

n

，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．

（1）求证：数列{3an}是等差数列； （2）求Sn；

（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．

20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax+ax，a为正实数． （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求证：f（）≤0；

（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．

[选修4-1：几何证明选讲] 21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的

2

垂线，垂足为F．求证：AB=BE?BD﹣AE?AC．

2

[选修4-2：矩阵与变换]

22．（10分）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+

）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立

平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．

[选修4-5：不等式选讲]

24．设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜

，求证：|2x+y﹣3|＜c．

七、解答题（共2小题，满分20分） 25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．

（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；

（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．

26．（10分）设n∈N，f（n）=3+7﹣2． （1）求f（1），f（2），f（3）的值；

（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．

*nn