2020版高考数学大一轮复习第4讲函数及其表示课时达标(文)(含解析)新人教A版

第4讲 函数及其表示

课时达标

一、选择题

1．函数y＝ln(x－x)＋4－2的定义域为( ) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)

??x－x>0，

B 解析 由已知得?x?4－2≥0?

2

2

xB．(－∞，0)∪(1,2] D．(－∞，2)

??x<0或x>1，

??

?x≤2?

?x∈(－∞，0)∪(1,2]．故选B.

2．(2019·广州模拟)设函数f(x)满足f?A.2

1＋x2

?1－x?＝1＋x，则f(x)的表达式为( )

??1＋x?

B.D.22 1＋x1－x 1＋x1－xC.2 1＋x1－x1－t?1－x?＝1＋x，得f(t)＝1＋1－t＝2，即A 解析 令＝t，则x＝，代入f??1＋x1＋t1＋t1＋t?1＋x?

f(x)＝

2

.故选A. 1＋x??cos πx，x≤1，

3．已知f(x)＝?

?f(x－1)＋1，x>1，?

?4??4?则f??＋f?－?的值为( )

?3??3?

1B．－ 2D．1

1A. 2C．－1

1?4??4???4???4?1

D 解析 f??＋f?－?＝cos??－1?π?＋1＋cos?－π?＝＋1－＝1.

2?3??3???3???3?21?????2?x，x≤0，

4．已知f(x)＝???

??log3x，x>0，1

A. 2C．3

1

设a＝log3，则f(f(a))＝( )

2

B．2 D．－2

11

A 解析 －1

22

5．(2019·福州调研)设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 019)＝ ( )

A．0

B．1

1

C．2 019 D．2 020

D 解析 令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 019)＝2 020.

1，x＞0，??

6．设x∈R，定义符号函数sgn x＝?0，x＝0，

??－1，x＜0，A．|x|＝x|sgn x| C．|x|＝|x|sgn x

则( )

B．|x|＝xsgn |x| D．|x|＝xsgn x

D 解析 当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C项．故选D.

二、填空题

f(2x－1)

7．若函数f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝的定义域是________．

lg(x－1)

解析 因为y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，所以－1≤x＋1≤4，所以f(x)的定义域是－1≤2x－1≤4??

[－1,4]，所以?x－1>0，

??x－1≠1，

5

所以1

2

?5?答案 (1,2)∪?2，? ?2?

2－1，x≤0，??

8．函数f(x)＝?1

x，x>0，??2

??a≤0，

解析 由已知得?a?2－1>3?

x

若f(a)>3，则a的取值范围是________．

a>0，??

或?1

a>3，??2

2

解得a>9.

答案 (9，＋∞)

9．(2019·常州中学月考)若函数y＝是________．

解析 因为函数y＝

ax＋1

的定义域为R，则实数a的取值范围

ax＋2ax＋3

ax＋12

的定义域为R，所以ax＋2ax＋3＝0无实数解，即函数

ax＋2ax＋3

2y1＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数y1＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)－4×3a＜0，解得0＜a＜3.综上所述，a的取值范围是[0,3)．

答案 [0,3)

2

2

三、解答题

10．设函数f(x)＝???ax＋b，x<0，

??2x，x≥0，

且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．

(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．

解析 (1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得??

?

－2a＋b＝3，??－a＋b＝2，

解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝???－x＋1，x<0，

??2x，x≥0.

(2)f(x)的图象如图所示．

11．(2019·巴蜀中学期中)已知f(x)＝x2

－1，g(x)＝???

x－1，x＞0，??2－x，x＜0.

3

(1)求f(g(2))与g(f(2))； (2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．

解析 (1)由已知条件可得g(2)＝1，f(2)＝3，因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.

(2)当x＞0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)－1＝x－2x；当x＜0时，g(x)＝2

??x－2x，x＞0，

－x，故f(g(x))＝(2－x)－1＝x－4x＋3.所以f(g(x))＝?2

??x－4x＋3，x＜0.

2

2

2

2

2

当x＞1或

x＜－1时，f(x)＞0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；当－1＜x＜1时，f(x)＜0，故g(f(x))

??x－2，x＞1或x＜－1，2

＝2－f(x)＝3－x.所以g(f(x))＝?2

?3－x，－1＜x＜1.?

2

2

12．已知函数f(x)＝x＋mx＋n(m，n∈R)，f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有两个相等的实数根．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[0,3]时，求函数f(x)的值域． 解析 (1)因为f(x)＝x＋mx＋n，且f(0)＝f(1)， 所以n＝1＋m＋n，所以m＝－1，所以f(x)＝x－x＋n. 因为方程x＝f(x)有两个相等的实数根， 所以方程x＝x－x＋n有两个相等的实数根， 即方程x－2x＋n＝0有两个相等的实数根，

所以(－2)－4n＝0，所以n＝1，所以f(x)＝x－x＋1. (2)由(1)知f(x)＝x－x＋1.

1

此函数的图象是开口向上，对称轴为x＝的抛物线，

21?1?所以当x＝时，f(x)有最小值f??. 2?2?

3?1??1?212

而f??＝??－＋1＝，f(0)＝1，f(3)＝3－3＋1＝7，

4?2??2?2

2

2

2

2

2

2

2

?3?所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域是?，7?.

?4?

x2－1f(2)

13．[选做题](2019·金陵中学期中)若函数f(x)＝2，则(1)＝________；

x＋11??f??

?2?

?1??1??1?＝________.

(2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2 019)＋f??＋f??＋…＋f??

?3??4??2 019?

4