2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第四节基本不等式(a,bR+) 理

第四节 基本不等式： ab≤

a＋b

(a，b∈R＋) 2

1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大

小值问题.

知识梳理

一、算术平均数与几何平均数的概念 若a>0，b>0，则a，b的算术平均数是

a＋b2

，几何平均数是ab.

二、常用的重要不等式和基本不等式

2

1．若a∈R，则a≥0，|a|≥0(当且仅当a＝0时，取等号)．

22

2．若a，b∈R，则a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)． 3．若a，b∈R＋，则a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)．

a2＋b2?a＋b?2

4．若a，b∈R＋，则≥??(当且仅当a＝b时取等号)．

2?2?

三、均值不等式(基本不等式)

a＋b两个正数的均值不等式：若a，b∈R＋，则≥ab(当且仅当a＝b时取等号)．

2

?a＋b?2(a，b∈R)．

变式： ab≤??＋

?2?

四、最值定理

设x>0，y>0，由x＋y≥2xy，有：

(1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y最小值为2P；

(2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy最大值为??.

?2?

即积定和最小，和定积最大．

运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． 五、比较法的两种形式 一是作差，二是作商． ?S?2

基础自测

xy1．若x＋2y＝4，则2＋4的最小值是( )

A．4 B．8 C．22 D．42

xyx2yx＋2y4x2y解析：因为2＋4≥22·2＝22＝22＝8，当且仅当2＝2，即x＝2y＝2时

xy取等号，所以2＋4的最小值为8.

答案：B

2．下列结论中正确的是( )

第 1 页 共 3 页

1

A．当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2

lg x1

B．当x＞0时，x＋≥2

x1

C．当x≥2时，x＋的最小值为2

x1

D．当0＜x≤2时，x－无最大值

x

答案：B

122

3．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的周长，则＋a1

b的最小值是________．

答案：4

4．当x>2时，不等式x＋

1

≥a恒成立， x－2

1

所以a必须小于或等于x＋的最小值．

x－2

因为x>2，所以x－2>0.

11

所以x＋＝(x－2)＋＋2≥4.

x－2x－2

所以a≤4.

答案：(－∞，4]

解析：因为x＋

2

2

1

≥a恒成立，则实数a的取值范围是________． x－2

1．(2013·山东卷)设正实数x，y，z满足x－3xy＋4y－z＝0，则当取得最大值时，212

＋－的最大值为( )

xyzxyz9

A．0 B．1 C. D．3

4

22

解析：由已知得z＝x－3xy＋4y(*) xyxy1则＝2≤1， 2＝zx－3xy＋4yx4y＋－3

yx当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y，

212111?1?2

所以＋－＝＋－2＝－?－1?＋1≤1.故选B.

2

xyzyyy?y?

答案：B

第 2 页 共 3 页

2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费

8

用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝800＋×x×1

8800x＝＋≥2

xx8值．故选B.

答案：B

xx800x800x×＝20，当且仅当＝(x＞0)，即x＝80时，取最小x8x8

11

1．已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是( )

abA．2 B．22 C．4 D．5

111解析：＋＋2ab≥2＋2ab≥4，当且仅当a＝b，ab＝1时，等号成立，即aabab＝b＝1时，表达式取最小值为4.故选C. 答案：C

19

2．(2013·东莞二模)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则2x＋3y的最小值为________．

xy

?19?3y18x解析：由题意可得，2x＋3y＝(2x＋3y)·?＋?＝＋＋29≥2

?xy?

xy＋66，

3yx18x·＋29＝29

y3y18x192＋36

当且仅当＝，结合＋＝1，解得x＝，y＝6＋9时取等号，故2x＋3yxyxy2的最小值为29＋66.

答案：29＋66

第 3 页 共 3 页