(浙江专用)2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(十一)大题考法——数列的综合应用及数学归纳法

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课时跟踪检测（十一）大题考法——数列的综合应用及数学归纳法

1．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝

an＋1

，求数列{bn}的前n项和Tn. SnSn＋1

① ②

解：(1)∵Sn＝2an－a1， ∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，

①－②得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.

由a1，a2＋1，a3成等差数列，得2(a2＋1)＝a1＋a3， ∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.

∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴an＝2.

(2)∵an＝2，∴Sn＝2an－a1＝2

nn＋1

n－2，Sn＋1＝2

n＋2

－2.

an＋1

∴bn＝＝SnSn＋1

2

n＋1

n＋1

n＋2

－－

1?1?1

＝?n－n＋1?. 2?2－12－1?

∴数列{bn}的前n项和

Tn＝

2－1

. n＋1

2－1

n11?1??1?1??11??1?1－2?＋?2－3?＋…＋?n－n＋1??＝?1－n＋1?＝???2??2－12－1??2－12－1?2?2－1??2－12－1??

2

2．(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知等比数列{an}为递增数列，且a4＝，a3＋

320ana5＝，设bn＝log3(n∈N*)．

9

2

(1)求数列{bn}的前n项和Sn；

(2)令Tn＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1，求使Tn>0成立的最小值n. 2aq＝，??3

解：(1)设等比数列{a}的公比为q，由题意知，?20

aq＋aq＝，??9

31

n24

11

两式相除，得

312

＝，解得q＝3或q＝，∵{an}为递增数列，∴q＝3，a1＝. 1＋q10381

2

q∴an＝a1qn－1

2n－1n－5

＝·3＝2·3. 81

∴bn＝log3＝n－5，数列{bn}的前n项和Sn＝

2

ann－4＋n－

212

＝(n－9n)． 2

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(2)Tn＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1＝(1－5)＋(2－5)＋(2－5)＋…＋(25n>0，

即2>5n＋1，

∵2<5×4＋1,2>5×5＋1，∴nmin＝5.

4

5

2n－1

1－2

－5)＝－

1－2

nn3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝n＋1＋2nbn1

n＋

，其中n∈N，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.

*

解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1， 由an＝－3Sn＋4，知an＋1＝－3Sn＋1＋4， 1

两式相减并化简得an＋1＝an，

4

?1?n－1?1?n∴an＝??，bn＝－log2an＋1＝－log2??＝2n.

?4??4?

(2)由题意知，cn＝n＋2nn1n＋

.

① ②

123n令Hn＝＋2＋3＋…＋n，

2222112n－1n则Hn＝2＋3＋…＋n＋n＋1， 22222

11111nn＋2①－②得，Hn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1＝1－n＋1. 2222222∴Hn＝2－

n＋2

2

n.

111111

＝1－＋－＋…＋－＝1－＝

223nn＋1n＋1

又Tn－Hn＝

111

＋＋…＋1×22×3nn＋

nn＋1

，

∴Tn＝Hn＋(Tn－Hn)＝2－

n＋2

2

n＋nn＋1

.

??an＋1，n为奇数，

4．(2018·江苏泰州中学模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝?

??2an，n为偶数

(n∈N)，设bn＝a2n－1.

(1)求b2，b3，并证明bn＋1＝2bn＋2； (2)①证明：数列{bn＋2}为等比数列；

②若a2k，a2k＋1,9＋a2k＋2成等比数列，求正整数k的值．

*

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