一动点到两定点的距离最值

一动点到两定点的距离最值

熊明军

在学习三角形时，我们知道了三角形的三边之间有一个不等关系：“三角形的两边之和大于第三边”；“三角形的两边之差小于第三边”。借助这个三角不等式，再结合典型例题，我们可以得到一个动点到两个定点距离最值问题的研究方法与相关结论。

一、典型例题的回顾

【例题】已知有一段河岸AB相互平行的一条河，在河岸的一侧有E、F两个村庄，如下图。现在政府为了让两个村庄用上自来水，决定出资在河岸边建一个自来水厂，并在村庄与水厂之间铺设输水管道输水，为了降低成本，就必须使铺设的管道总长度最短，那么自来水厂应该建在河岸的什么位置，用尺规作图在图中标出。

【解析】假设靠近村庄的河岸为线段AB，村庄E、F是两个固定的点，此题的意思就是问：在线段AB上有一个动点P，求P在线段AB上移动到什么位置才能使PE?PF最短。

结论：

①直线上一动点P到两个定点距离之和最小问题，要根据点对称将两个定点转化到直线的两侧；

②直线上一动点P到两个定点距离之差最大问题，要根据点对称将两个定点转化到直线的同侧。

二、研究问题的理论

法则一：平面上一动点P到两个定点A、B的距离之和有最小值，当且仅当P在线段AB之间时取最小值。

法则二：平面上一动点P到两个定点A、B的距离之差有最大值，当且仅当P在线段AB的延长线上时取最大值。

?注意①：一动点P到两定点A、B距离最值的取得都是使动点与定点转化到一条直线上；如若不在一条直线上，就必须借助题中的条件与相关结论转化之。

?注意②：平面上一动点P到两个定点A、B的距离之和有最小值；距离之差有最大值。如若出现动点P到两个定点A、B的距离之和有最大值；距离之差有最小值，就必须使之

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转化为法则中的情况，即：距离之和?最小值；距离之差?最大值。

【证明】（法则一）已知平面上两个动点A、B，P是平面上任意一个动点，如下图：

①当动点P与定点A、B不共线时，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可知PA?PB?AB；

②当动点P与定点A、B共线，且在线段AB的延长线上时，显然有PA?PB?AB； ③当动点P与定点A、B共线，且在线段AB之间时，显然有PA?PB?AB； 综上所述，PA?PB?AB，当且仅当动点P在线段AB之间时取最小值AB。 【证明】（法则二）已知平面上两个动点A、B，P是平面上任意一个动点，如下图：

①当动点P与定点A、B不共线时，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”可知PA?PB?AB；

②当动点P与定点A、B共线，且在线段AB之间时，显然有PA?PB?AB； ③当动点P与定点A、B共线，且在线段AB的延长线上时，显然有PA?PB?AB； 综上所述，PA?PB?AB，当且仅当动点P在线段AB的延长线上时取最大值AB。 三、典型例题的讲解 ①动点在直线上

【例一】已知点A??1,1?，B?1,2?，C?3,2?，点P是直线l：y?x上的动点，求

PA?PB的最小值及PA?PC的最大值。

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【解析】在平面直角坐标系中做出题中所给的直线图象与相应的点，如上右图所示： ①如右图可知A??1,1?，B?1,2?在直线l同侧，要取PA?PB的最小值，根据法则一可知，必须使动点P在线段AB之间，显然这是不可能的。所以必须把两定点A、B中的一个对称到直线另一侧（本题解法采用作B的对称点得B'），连结AB'，这样就很好的满足了法则一：只要动点P在线段AB'之间就有最小值。因此，如左图所示，直线上的点P就是使PA?PB有最小值的点，计算得PA?PB??min?PA?PB'?AB'?3。

②如右图可知A??1,1?，C?3,2?在直线l两侧，要取PA?PC的最大值，根据法则二可知，必须使动点P在线段AC的延长线上，显然这是不可能的。所以必须把两定点A、C中的一个对称到直线另一侧（本题解法采用作C的对称点得C'），连结AC'，这样就很好的满足了法则二：只要动点P在线段AC'的延长线上就有最大值。即如左图所示直线上的点P'就是使PA?PC有最大值的点，计算得PA?PC②动点在圆上

【例二】已知点A??1,1?和圆C：x?y?10x?14y?70?0，一束光线从点A发出，

22??max ?PA?PC'?AC'?13。

经过x轴反射到圆C的圆周上，求光线从A点发出到圆周上走过的最短路程。

【解析】在平面直角坐标系中做出题中所给圆的图象与相应的点，如上右图所示。本题看似有两个动点，P与P'，但是由于圆的特殊性，到圆周上的点距离可以转化为到圆心的距离，如此，本题题意就是在直线y?0的同侧有两个定点A、O，找该直线上一动点P，使PA?PO有最小值。

?x?5???y?7??4?O?5,7?,r?2，作点A关于直线y?0的对?A??1,1?，圆O：22称点得A'??1,?1?，利用法则一，可得PA?PO的最小值为点P在线段OA'之间时取得；

??PA?PO?min?PA'?PO?OA'?10；

?光线从A点发出到圆周上走过的最短路程为10?r?10?2?8。

③动点在圆锥曲线上

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x2y2??1的左、右焦点，P是椭圆【例三】（动点在椭圆上）设F1，F2分别是椭圆

2516上任一动点，已知点M?6,4?，求PM?PF1的最大值。

【解析】显然M、F1为两定点，P为动点，由法则一可知PM?PF1只能求最小值，没有最大值；但题中偏偏让我们求最大值，这就意味着我们得利用题中的条件把PM?PF1转化为动点P到两定点的差的形式，这样方能求解。

?PF10?PF2? 1?PF2?2a?10?PF1?10?PF2?PM?PF1?PM???利用椭圆的定义把求PM?PF1的最大值转化成了求PM?PF2的最大值，利用法

则二可知，当动点P在线段MF2延长线上时，如上右图所示，PM?PF2有最大值。即

?PM?PF?

1max?10??PM?PF2?max?10?P'M?P'F2?10?MF2?10?5?15。

x2y2??1的左、右焦点，P是【例四】（动点在双曲线上）设F1，F2分别是双曲线

916双曲线右支上任一动点，已知点M?2,4?，求PM?PF1的最小值。

【解析】显然M、F1为两定点，P为动点，由法则二可知PM?PF1没有最小值；但

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题中让我们求最小值，同例三，只要利用条件把PM?PF1转化为动点P到两定点的和的形式就能求解。

?PF1?PF2?2a?6?PF1?6?PF2?PM?PF1?PM??6?PF2?

?利用双曲线的定义把求PM?PF1的最小值转化成了求PM?PF2的最小值，利用

法则二可知，当动点P在线段MF2上时，如上右图所示，PM?PF2有最小值。即

?PM?PF?1min?6??PM?PF2?min?6?P'M?P'F2?6?MF2?6?5?11。

2【例五】（动点在抛物线上）设F是抛物线的焦点，P是抛物线y?4x上的任一动点，已知点M?2,1?，求PM?PF的最小值。

【解析】M、F为两定点，P为动点，由法则一可知点P若能在线段MF之间，可立即得到PM?PF的最小值，在平面直角坐标中做出抛物线及相应的点，如上左图所示。在抛物线中，由定义可得动点到焦点的距离等于动点到准线的距离，即PF?d?P，l?，所以PM?PF?PM?d?P,l?。显然，当动点P运动到如上右图所示的位置时，点P在线段d?P,l?之间，即PM?PF??min?P'M?d?P',l??d?M,l??3。

222【练习】已知P为抛物线y?4x上任一动点，Q为圆x??y?4??1上任一动点，

求点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值。

简单中蕴含着复杂，复杂中蕴含着简单，数学并不孤傲，是我们思考和解决问题的强有力的工具。

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