2013-2014-北邮概率论研究生概率论-答案

北京邮电大学2013——2014学年第1学期

《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案

考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的

班号和选课单上的学号，班内序号!

一、 填空题：（每空3分，共30分）

1．给定集合A??，则定义在?上的包含A的最小?-代数是 .

{?,?,A,A}

2．若A1,A2是?上的两个非空集合类，?i是Ai(i?1,2)上的测度，若满足：（1） ;（2）?A?A1,有?1(A)??2(A)，则称?2是?1在A2上的扩张。

A1?A2

3．某集代数包含了所有的左开右闭区间（实数集上的）. 该集代数上有一个测度P，对于任意可测集(a,b]，其中a?b，均有P?(a,b]??b?a.将该测度扩张到某?-代数上记为?.对单点集?1?，???1??? . 0

11PA?,PB???，4．设概率测度空间??,F,P?，A?F,B?F,AB??，??23两个简单函数f?????A????2?A???，g?????B????2?B???，则

E[f]? ，E[fg]? .

37, 235． 设X为定义某概率空间上的随机变量，若X的分布函数为F(x)，则数

学期望EX的L-S积分形式为 .

?

????xdF(x)

1

6． 设三维随机变量(X,Y,Z)服从正态分布N(a,B)，其中a??1,2,3?，

?211???B??121?，则E[E[X|YZ]]=

?112???1

7．设随机过程{X(t),???t???}为平稳二阶矩过程，且均方连续.设该过

?程的均值函数为??1，相关函数R(s,t)?2e为随机变量?. 则E(?)? .

?t?s，均方积分?2X2(t)dt记

0?

8．设N(t)为泊松过程,则条件概率P(N(2)?2|N(3)?3)? .

4 9 9. 设W(t)为参数为?2的维纳过程,W(0)?0,则cov?W(1),W(2)?= .

?2

二.（8分）设A是?系，证明A是单调类；若A也是?系，证明A是?-代数。 证明：由A是?系，若An?A，n=1，2，…，且An?，则?An?A.

n?1??若Bn?，Bn?A，n=1，2，…，由A是?系，Bn?A且Bn?，则?Bn?A.

n?1??所以?Bn?A.即?Bn? A，所以A是单调类。

n?1n?1???? 4分

A是?系，A对余集运算封闭且??A，若A也是?系， A对交集运算封闭，

所以A是集代数。因为A是单调类，所以A是?-代数。 4分

1?(x?x),x?0,y?0 三.（16分）设随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?ex

2

y（1） 求边缘密度fX(x)；

（2） 求x?0时条件密度fY|X(y|x)；

（3） 求E(Y|X),E[(Y?EY)2|X],E[X?Y|X]. 解（1）fX(x)????01?(x?x)edy?e?x，x?0. xyy 4分

1?（2）当x?0时，fY|X(y|x)=ex,y?0.

x（3）由（2）知

4分

E(Y|X?x)?x，所以E(Y|X)?X.E(Y)?1

E[Y2|X]?2X2，所以E[(Y?EY)2|X]?2X2?2X?1.

E[X?Y|X]= X?E[Y|X]?0.

8分

四. （14分）设随机变量X的分布列为

P{X?k}??kk!e??,k?0,1,2,?

（1） 求随机变量X的特征函数?X(t); （2）求P{X为偶数}. 解 （1）

?X(t)?E?eitX???ek?1?itk?kk!e??it(?eik)k????e?e?(e?1). ……8分

k!k?1? （2）易知e?????,e!k?0?k????k??k???? ，所以 ??!k?0?k???P?X为偶数???

?2k!k?0?2k?e??e??e????1?e?2?. ……6分 ?e?223

五. （14分）设随机过程Z(t)?Xsint?Ycost，其中X,Y是两个独立同分布的随机变量.

（1）若X,Y都以2/3和1/3的概率取值-1和2，证明Z(t)为平稳过程; （2）若X,Y都服从标准正态分布，证明Z(t)为高斯过程.

（1）证明 E[X]?0?E[Y],E[X2]?E[Y2]?2,E[XY]?EXEY?0，

E[Z(t)]?E[X]sint?E[Y]cost?0，

RZ(t,s)?E[X2]sintsins?E[XY](sintcoss?costsins)?E[Y2]costcoss?2cos(t?s)所以，均值函数为常数，自相关函数只依赖于时间差，Z(t)为平稳随机过程。7分 （2）对于任意正整数n，取任意时间点t1,t2,?,tn,任意实数c1,c2,?,cn,

c1Z(t1)?c2Z(t2)???cnZ(tn)?X?cksintk?Y?ckcostk，因为X,Y相互独立且

k?1k?1nn服从正态分布，X,Y的线性组合仍然服从正态分布，所以

c1Z(t1)?c2Z(t2)???cnZ(tn)服从一维正态分布。故Z(t)为高斯过程。7分

七. （18分）设马氏链{Xn,n?0}的状态空间为{1,2,3,4,5,6}，转移概率矩阵为

??0??0???0P??1??3?1?2??0??0120130121201012000013001200000?0??1?2??0?? 0???0??1??2?(1)确定该链的状态分类；(2)各状态的周期；(3)求平稳分布；

4

(4) 求limpn??(n)33,

?pn?0?(n)11.

解. （1）链可分, {3}{2,6}是不可分闭集, 状态空间E?{3}?{2,6}?{1,4,5},3,2,6正返态,1,4,5为非常返.

6分

（2） 周期d(1)?2,d(5)?2,d(i)?1,i?1,2,...,6. 3分 （3） 设平稳分布为??(?1,?2,?,?6),则

???P,?? ??1????6?1,

???0,i?1,2,?,6.?i解之得??(0,p,q,0,0,p),其中p?0,q?0,2p?q?1. （4） p(n)336 5分

(1)(n?1)(1)?P?Xn?3|X0?3???P?Xn?3|X1?i?p3p33?1. i?p33i?1n??(n)limp33?1.

(n)?1??p11n?0?114?2??? 443 4分

5