点与坐标平面典型习题赏析

点与坐标平面典型习题赏析

点的坐标问题是学习平面直角坐标系的重点知识，是学好其它内容的基础，为了方便同学们更好地掌握这一知识，现就点与坐标平面中常见的、典型的问题举例说明.

例1 在方格纸上建立平面直角坐标系，并描出下列各点：

A(1，1)、B(5，1)、C(3，3)、D(－3，3)、E(1，－2)、F(1，4)、G(3，2)、H(3，－2)、I(－1，－1)、J(－1，1).

连结AB，CD，EF，AH，IJ，找出它们中点的坐标,将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较,你发现它们之间有什么关系?写出你的发现, 并与其他同学进行交流.

简析 如图1，AB中点坐标为(3，1)，CD中点坐标为(0，3)，EF中点坐标为(－1，0)，GH中点坐标为(3，0)，IJ中点坐标为(－1，0)发现，中点的横坐标(或纵坐标) 分别是对应线段的两个端点的横坐标(或纵坐标)之和的一半.

说明 求解这类问题一定要弄清楚有序数对与坐标平面的对应关系，包括各象限的符

y 号，注意坐标上的点不属于任何象限.

y4 A 3 5F 42 C 3CD 1 B G2x J1ABO 1 2 3 4 －4 －3 －2 －1 012-4 34567x-3-2-1Q －1 -1 I－2 -2R HE P －3 图1 －4 图2

例2 如图2，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别写出点A 与点P，点B与点Q，点C到点R的坐标，并观察它们之间的关系.如果三角形ABC中任意一点M的坐标为(x，y),那么它的对应点N的坐标是什么?

简析 观察图形可以知道：A(4，3)，B(3，1)，C (1，2)，P(－4，－3)，Q(－3，－1)，R (－1，－2)，由此△PQR变换到△ABC时对应点坐标关系，发现对应横、纵坐标都互为相反数，即两个图形是关于原点对称，就是说若M (x，y)，则它的对应点N (－x，－y).

说明 解答本题应认真观察分析图形特殊，及时从图形中捕捉求解的有用信息.

例3 在直角坐标系中，依次连接点(1，0)、(1，3)、(7，3)、(7，0)、(1，0)和点(0，3)、(8，3)、(4，5)、(0，3)两组图形共同组成了一个什么图形?如果将上面各点的横坐标都加上1，纵坐标都减1，那么用同样方式连接相应各点所得的图形发生了哪些变化? y 7 y 6 5 1 4 －1 O 2 x 3 2 1 x O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 －1 图4 －1 图3

1

简析 如图3，在直角坐标系中，依次连接点(1，0)、(1，3)、(7，3)、(7，0)、(1，0)和点(0，3)、(8，3)、(4，5)、(0，3)则共组成的图形是“小房子”.若将上面各点的横坐标都加上1，纵坐标都减1，再连接相应各点所得图形的形状、大小都不变，只是位置沿水平方向向右平移一个单位，再向下平移一个单位.

说明 图形的平移只改变其位置，而不改变图形的大小和形状. 例4 某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图4所示）．则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点（ ）

A.(－2a，－2b) B.(－a，－2b) C.(－2b，－2a) D.(－2a，－b)

简析 依题意并观察图形发现小鱼的鱼头坐标是(－1，0)，大鱼的鱼头坐标是(2，0)，所以大鱼大小是小鱼的2倍，就是说，小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点的坐标应该是(－2a，－2b)，故应选A.

说明 掌握并能灵活运用平面直角坐标系中特殊点之间的关系是求解本题的关键.

点与坐标系平面考题解密

有关平面直角坐标系中的点坐标问题是历年中考的一个热点，处理这类试题应根据要求，利用点坐标的特点，发挥平面直角坐标系的优势.现就近年来的常见题型举例说明.

一、确定限象

例1（大连市中考试题）在平面直角坐标系中，点（－2，3）所在的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

简析 由于点(－2，3)的横坐标－2＜0，纵坐标3＞0，所以点(－2，3)是在第二象限，故应选B.

说明 坐标轴把坐标平面分成四个象限，各象限内点的符号特征是：第一象限：（+，+）；第二象限：（－，+）；第三象限：（－，－）；第四象限：（+，－）.

二、确定字母的范围

例2（河北省中考试题）在平面直角坐标系中，若点P（x－2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）

A.0＜x＜2 B. x＜2 C. x＞0 D. x＞2

简析 已知第二象限中符号规律是：横坐标＜0，纵坐标＞0，于是有x－2＜0，x＞0，即0＜x＜2.故应选A.

说明 搞清楚各象限中对应坐标的符号是求解这类问题的关键. 三、对称问题

例3（烟台市）已知点P（3，－2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（ ） A.（－3，2） B.（－3，－2） C.（3，2） D.（3，－2）

简析 关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标是互为相反数，于是点P（3，－2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（3，2）.故应选C.

说明 直角坐标系内点的对称规律是：点P（m，n）关于x轴对称点是P1（m，－n）；点P（m，n）关于y轴对称点是P2（－m，n）；点P（m，n）关于原点轴对称点是P3（－m，－n）；点P（m，n）关于y＝x对称点是P4（n，m）；点P（m，n）关于y＝－x对称点是P5（－n，－m）.

四、坐标几何图形问题

例4（苏州市中考试题）如图1，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上.其中，A点坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为＿＿＿平方单位.

2

简析 由于A点坐标为(2，－1)，所以B点坐标为(4，3)，C点坐标为(1，2)，要求△ABC的面积，如图可以转化为求直角梯形ABED的面积和Rt△ACD、Rt△BCE的面积，此时有E点坐标为(1，3)，D点坐标为(1，－1)，于是△ABC的面积为AD×CD－

11(AD+BE)×DE－×221111×CE×BE＝(1+3)×4－×1×3－×1×3＝5（平方单位）. 2222

O D A

图1

图2

说明 对于处理平面直角坐标系中的有关几何图形的面积问题，一般的思路都是化不规则的为规则的图形，再利用相关的几何图形的面积公式求解.本题中的三角形实际上也是一个等腰直角三角形.

五、探索坐标

例5（淮安市中考试题）如图2，已知Al(1，0)、A2(1，1)、A3(－1，1)、A4(－1，－1)、A5(2，－1)、?.则点A2007的坐标为________.

简析 依题意，得第一象限里的点分别是A2、A6、A10、?，第二象限里的点分别是A3、A7、A11、?，第三象限里的点分别是A4、A8、A12、?，第四象限里的点分别是A5、A9、A13、?，由此可见点A2007是在第二象限内，而第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，且绝对值相等，并且由观察、推理、归纳得到A3(－1，1)、A7(－2，2)、A11(－3，3)、?，因为2007＝501?3，所以点A2007的坐标应该是(－502，502).

说明 求解本题时要于归纳、猜想、验证，从中找到点坐标的规律，从而使问题获解. ※六、开放与创新

例6（长沙市）如图3，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，请你建立适当的直角坐标系，并写出A、B、C各点的坐标.

y

A A B C O C x B

图3 图4

简析 告诉我们的三角形是一个等腰三角形，要求我们建立适当的直角坐标系，再写出A、B、C各点的坐标，显然这道题目的答案不惟一，是一道结论开放型问题.但我们为了避免繁琐，可以根据等腰三角形的特征，以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，垂直平分线与BC的交点为原点建立直角坐标系.由于∠BAC＝120°，AB＝AC，所以y轴必经过A点，又∠BCA＝∠ABC＝30°，BO＝CO＝

E C B 1BC＝2，所以在Rt△AOC中，可以求得2OA＝

2323.所以A（0，）、B（－2，0）、C（2，0）. 333

说明 根据要求建立直角坐标系解决问题时，一定要根据图形的特征，使求解不再有难度或尽量降低难度.

如何求坐标平面内三角形的面积

一、三角形的一边在坐标轴上

例1.已知点A(4.5,5),B(6,0),C(-2,0),求△ABC的面积.

解析：在x轴上的两个点（a,0）、(b,0)相互之间可以通过左右平移得到，它们之间的距离为a?b.由于BC边在x轴上，因此，以AB为底求三角形的面积比较方便.BC=6???2??8.作AD⊥BC于D，则点

D的坐标为(4.5,0),高AD=5，所以，

11S?ABC?BC?AD??8?5?20.

22

例2.已知点A(0,5),B(0,-1),C(-4,-3),求△ABC的面积.

解析：在y轴上的两个点（0, a）、(0,b)，相互之间可以通过上下平移得到，它们之间的距离为a?b.因此AB=5???1??6.作CD⊥AB于D，则点D的坐标为(0,-3),高CD=4， 所以，

11S?ABC?AB?CD??6?4?12.

22

二、三角形的一边与坐标轴平行

例3.已知点A(2,3),B(2,-4),C(6,1),求△ABC的面积. 解析：由A、B两点的坐标知，AB∥y轴，所以，要求△ABC的面积，以AB为底比较简单， AB=3???4??7.作CD⊥AB于D，则点D的坐标为(2,1),高CD=6?2?4. 所以，S?ABC?

4

11AB?CD??7?4?14. 22