高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比3.1.2类比推理知识导航素材北师大版选修12

则

f(x1)?f(x2)???f(xn)x?x2???xn≤f(1).

nnx2y2【例4】设F1、F2分别为椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左、右两个焦点.

ab（1）若椭圆C上的点A（1,

3）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点2坐标.

（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程.

（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关

x2y2的定值，试写出双曲线2?2=1具有类似特性的性质并加以证明.

ab分析:由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是

类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质,用斜率公式及双曲线方程即可得证.

解:（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.

32()312

又点A（1，）在椭圆上，因此2+22=1,b=3.

22b∴c=a-b=1.

2

2

2

x2y2∴椭圆C的方程为+=1,焦点F1（-1，0），F2（1，0）.

43(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1)，线段F1K的中点Q（x,y）满足x=∴x1=2x+1,y1=2y.

?1?x1y,y=1,

22124y2(2x?1)2(2y)2∴+=1,即（x+）+=1为所求的轨迹方程.

2433x2y2（3）类似的性质为：若M、N是双曲线2?2=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲

ab线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点

m2n2P位置无关的定值.设点M的坐标为（m,n），则点N的坐标为（-m,-n），其中2?2=1.

ab又设点P的坐标为（x,y），由kPM=

y?n, x?my?ny?ny?ny2?n2kPN=,得kPM·kPN=·=.

x?mx?mx?mx2?m2

5

b2b2222b222

将y=2x-b,n=2m-b,代入得kPM·kPN=2.

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类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视.有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质.类比是研究圆锥曲线的一种方法. 变式训练

4.类比圆的下列特征，找出球的相关特征:

(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长与面积可求；

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(4)在平面直角坐标系中，以点（x0,y0）为圆心、r为半径的圆的方程为(x-x0)+(y-y0)=r. 解:(1)空间内与定点距离等于定长的点的集合是球. (2)空间内不共面的4个点确定一个球. (3)球的表面积与体积可求.

(4)在空间直角坐标中,以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为

2222

(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=r.

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