2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练含答案解析

2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

2π

例1 （1）点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )

313

A．(－，)

2213C．(－，－)

22B．(－D．(－

31

，－) 2231，) 22

(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则

cos(??)sin(????)2的值为________． 11?9?cos(??)sin(??)223【答案】（1）A（2）－

4

【解析】(1)设Q点的坐标为(x，y)， 2π12π3

则x＝cos＝－，y＝sin＝.

323213

∴Q点的坐标为(－，)．

22－sin α·sin α

(2)原式＝＝tan α.

－sin α·cos α根据三角函数的定义， y3

得tan α＝＝－，

x43

∴原式＝－.

4

【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练

【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 题型二 三角函数的图象及应用

例1已知曲线C1：y?cosx，C2：y?sin ?2x????2π??，则下面结正确的是（ ）. 3?1

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的线C2 【答案】D

π个单位长度，得到曲6π个单位长度，得到曲121π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲261π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲2122π??C2:y?sin?2x??3?，?【解析】（1） C1:y?cosx，首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1:y?cosxππ?π???y?cosx?cos?x????sin?x??22?2?．横坐标变换需将??1变成??2，即??用诱导公式处理．

π?C1上各点横坐标缩短它原来2??y?sin?x???????????y?sin?2x?2???1π????sin2?x?2??x?π?2π?π?????y?sin?2x???sin2?x??4?3?3?． ??注意?的系数，在右平移需将??2提到括号外面，这时

πππx?3”需加上12，即再向左平移12．故选D. 到“

【易错点】函数图像水平方向平移容易出错 【思维点拨】平移变换理论 (1)平移变换:

①沿x轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换:

πππx?x?4平移至3，根据“左加右减”原则，“4”

①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标y不变); ②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0

2

例2函数y?sin2x的部分图像大致为（ ）.

1?cosxyyyy1111-πO1πx-πO1πx-πO1πx-πO1πxA.B.C.D.

【答案】C

y?sin2x【解析】由题意知，函数

1?cosx为奇函数，故排除B；当x??时，y?0，排除D；当x?1时，

y?sin21?cos2?0，排除A.故选C.

【易错点】函数图形判断通过过排除法 【思维点拨】

例3函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)??ω>0，－π2<φ<π

2??的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A．2，－π

3

B．2，－π

6 C．4，－π

6

D．4，π

3

【答案】A

【解析】 (1)因为T2＝11π12－5π12，所以T＝π.又T＝2πω(ω>0)，所以2π

ω＝π，所以ω＝2.

又2×5π12＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，且－π2<φ<π2，故φ＝－π

3.

【易错点】求φ时，容易忽略讨论k 【思维点拨】

3

题型三 三角函数性质

π

例1 （1）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)(ω>0,0<|φ|<)为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相

2邻对称轴之间的距离为π

2.

(1)求f(π

6

)的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π

6个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．

【答案】（1）f(ππ6)＝2sin3＝3（2）[kπ－π5π

12，kπ＋12](k∈Z)．

【解析】（1）f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ) ＝2[132sin(ωx＋φ)＋2cos(ωx＋φ)]

＝2sin(ωx＋φ＋π3

)．

因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋π

3)＝0，

又0<|φ|<π

2，

可得φ＝－π

3

，

所以f(x)＝2sin ωx，由题意得2πω＝2·π

2，所以ω＝2.

故f(x)＝2sin 2x. 因此f(ππ

6)＝2sin3

＝3.

(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f(x－π

6)的图象，

所以g(x)＝f(x－π6)＝2sin[2(x－π6)]＝2sin(2x－π

3)．

当2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π

2(k∈Z)，

即kπ－π12≤x≤kπ＋5π

12(k∈Z)时，

g(x)单调递增，

因此g(x)的单调递增区间为[kπ－π5π

12，kπ＋12](k∈Z)．

【易错点】 【思维点拨】

4