2012级高数二期末答案（理工类 多学时）

2012级高等数学(二)期末试卷解答A (理工类 多学时)

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在(0,0)处取得极大值的函数是（ C ）. （A）sinx2?y2； （B）2x2–y2； （C）2–x2–y2； （D） x+y．

2．设z?f(x,y,z)，则zx=（ C ）.

fx?fy??ffxfx?x（A）； （B） ?； （C）； （D）.

?x1?ffz1?fzz3．已知级数

?y?an?1n?n收敛，则下列级数中一定收敛的是（ C ）.

???an2（A）?(?1)； （B）?an； （C）?(an?an?1)； （D）?(an?a2n?1).

nn?1n?1n?1n?1?4. Ω是由x = 0,y = 0，z=0，2x+y+z =1围成的闭区域，f 为连续函数，三重积分

10101?2x?y0101?x201?2x?y0????fdV?（ D ）.

（A）

?dy?dx?120fdz； （B）

?dy?dx?fdz；

（C）

?dy?01dx?fdz； （D）

01?dy?011?y20dx?1?2x?y0fdz.

?0,???x?0,5. 设f (x)是以2π为周期的函数，函数在[－π, π]的表达式为f(x)??，

k,0?x??(k?0)?则 f (x)的傅里叶级数的和函数s(x)在x=π处的值为( D ).

（A）0； （B） k； （C）π； （D）. k/2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6. f可导u?ey?f(x?y)，已知

222?u?u=0，则= ey . ?x?y7.u?x?2y?3z?xy?2x?2y?5z，则点（1,1,1）处的全微分du|(1,1,1)? dx+3dy+dz . 8. 设D是xOy平面内以三点（0,0），（1,0），（0,1）为顶点的三角形区域，则由二重积分的几何意义知

??D(1?x?y)dxdy= 1/6 .

9. 设Σ为球面x2+y2+z2=a2，则曲面积分

???(x2?y2?z2)dS=4?a4.

1

10．设幂级数

?a(x?1)nn?1?n在x = 2收敛，在x = 0发散，则该幂级数的收敛半径为 1 .

三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 11.求极限limx?0y?0xye?1xy．

解：limx?0y?0xyexy?1?limxyxy(e?1) （4分）

x?0exy?1y?0 ?2?limxyxy?. 2 （8分）

x?0e?1y?0x2?y2，求fx(1,0)，fy(0,1)．

12.设f(x,y)?2x?2y?ln解：fx(x,y)?2?x，fx(1,0)?2?1?1； （4分）

x2?y2fy(x,y)?2??y，fx(0,1)?2?1?1. （8分） 22x?ynn313. 判别级数?(?1)n的敛散性，如果收敛，进一步判断是绝对收敛还是条件收敛．

2n?1(n?1)32n1?3??1， （4分） 解：limn?1n??2n2?n3所以级数?n收敛，故原级数绝对收敛. （8分）

n?1214.计算二重积分I?1?xy22，其中dxdyD?{(x,y)|x?y?1}. 22??1?x?yD解：I?1?xy1dxdy?dxdy （2分） 2222????1?x?y1?x?yDD2?11?????d?d??d?d? （6分） 2??001??21??D??ln2 （8分）

2

15.计算三重积分解：I?22222

，其中Ω由圆柱面x+y=a，平面z=0，z=h (h>0)围成 (x?y)dV????222(x?y)dV?????????dzd?d? ??2?ah??d???3d??dz （4分）

000. ?16. 计算圆周.

?ha42L . （8分）

?(ye2x?y)dx?(2yex?2x)dy，L为x2+y2=ax，a > 0上从O(0,0)到A(a,0)的上半

解： 补充路径：有向线段AO,y?0,0?x?a， （2分）

x 由格林公式又 所以，

??AOL?AO(ye?y)dx?(2ye?2x)dy???d??D2x?a28 （4分）

?(y2ex?y)dx?(2yex?2x)dy?0， （6分）

?L(y2ex?y)dx?(2yex?2x)dy??8a2. （8分）

四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 17．计算曲面积分的外侧. 解：P?????xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)y(x2?y2?z)22212232222322, 其中Σ为曲面(x?1)?(y?1)?(z?1)?22212x(x2?y2?z)22322322,Q?,R?z(x2?y2?z)22322，

?P(x?y?z)?3x(x?y?z)?Q(x?y?z)?3y(x?y?z)，，???x(x2?y2?z2)3?y(x2?y2?z2)3?R(x?y?z)?3z(x?y?z)， ?2223?z(x?y?z)?P?Q?R???0， （3分） ?x?y?z由高斯公式，

22322222122322222122????xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322????0dV?0 （6分）

? 3

(?1)n?12n18．求幂级数?x的收敛区间及和函数.

2n?1n?1?x2n?22n?1解：lim?2n?x2?1，所以|x|<1，收敛区间x?(?1,1)， （2分）

n??2n?1x??x(?1)n?12n(?1)n?1x2n?1n?1s(x)??x?x??x?(?1)?x2n?2dx （4分）

02n?1n?12n?1n?1n?1?x? ?x?0?(?x2)n?1dx?x?n?11dx?xarctanx. （6分）

01?x2x五、解答题（每一问5分，10分）

x3nx19. （1）验证函数y(x)??，x?(??,?)，满足微分方程y???y??y?e；

n?0(3n)!?x3n（2）求幂级数?的和函数.

n?0(3n)!?x3n?3(3n)!解：（1）lim3n?0，所以收敛域为x?(??,?).

n??x(3n?3)!?3n?x3n?1?x3n?1(3n?1)?x3n?2?x3n?2，y??(x)??， （3分） y?(x)??????(3n)!(3n?1)!n?1n?1(3n?1)!n?1n?1(3n?2)!???x3n?x3n?1x3n?2xn所以，y???y??y?? +??????ex. （5分）

(3n)!(3n?1)!(3n?2)!n!n?0n?1n?1n?0??y???y??y?ex?（2）求微分方程初值问题?y(0)?1 ， （7分）

?y?(0)?0?通解为y(x)?e1?x2(c1cos32x?c2sin23(cos3232exx)?，

3233c2sin92满足条件的特解为y(x)?e?1?x2x?2exx)?，解得c1?,c2?0

33xx3n2?1所以和函数??e2cos3n?0(3n)!32exx?. （10分）

3 4