2020届高考数学（文）二轮总复习专题训练：1.7.6推理证明与复数 Word版含答案

1.7.6 推理证明与复数

一、选择题

1．i为虚数单位，i＝( ) A．i C.1 解析：i＝i答案：B

2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( ) A．3，－2 C．3，－3

B.3,2 D.－1,4

607

151×4＋3

607

B.－i D.－1

＝i＝－i.

3

解析：(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，由复数相等的定义可知a＝3，b＝－2. 答案：A

3．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A．第一象限 C．第三象限

B.第二象限 D.第四象限

解析：实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限． 答案：B 1＋3i4.＝( ) 1－iA．1＋2i C．1－2i

B.－1＋2i D.－1－2i

1＋3i?1＋3i??1＋i?－2＋4i解析：＝＝＝－1＋2i.

1－i?1－i??1＋i?2答案：B

5．(2019·历下区校级期中)设m∈R，复数z＝m－1＋(m－1)i表示纯虚数，则m的值为( ) A．1 C.±1

2

2

B.－1 D.0

解析：因为z＝m－1＋(m－1)i表示纯虚数，

?m－1＝0，?

所以?

??m－1≠0，

2

所以m＝－1.

答案：B

z6．若复数z满足

＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )

1－i

A．1－i C．－1－i

B.1＋i D.－1＋i

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.

z由

＝i，得z＝i(1－i)＝1＋i， 1－i

所以a＝1，b＝－1，所以z＝1－i. 答案：A

1

7．设z＝＋i，则|z|＝( )

1＋i1A. 2C.3 2

B.2 2

D.2

11－i11

解析：z＝＋i＝＋i＝＋i，

1＋i222因此|z|＝ 答案：B

1＋3i

8．(2019·绍兴三模)已知复数z＝，则z的虚部为( )

3－iA．－1 C.1

B.－i D.i

?1?2＋?1?2＝?2??2?????

12＝. 22

1＋3i?1＋3i??3＋i?4i

解析：∵z＝＝＝＝i，∴z的虚部为1.

3－i?3－i??3＋i?4答案：C

9．在用反证法证明命题“已知a，b，c∈(0,2)，求证a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( ) A．假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都小于1 B．假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都大于1 C．假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都不大于1 D．以上都不对

解析：“不可能都大于1”的否定是“都大于1”． 答案：B

10．(2019·宁德期中)2018年4月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军．某家庭中三名诗词爱好者依据选

手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：

爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是( ) A．甲 C.乙

B.丁或戊 D.丙

解析：假设爸爸的猜测是对的，则冠军是丙； 假设妈妈的猜测是对的，不合题意；

假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意． 答案：D

11．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)，小明依次共答了10道题，设正确率依次为a1，a2，a3，…，a10.现有三种说法：①若a1a2>a3>…>a10，则必是第一道题答对，其余题均答错；③有可能a5＝2a10.其中正确的个数是( ) A．0 C.2

B.1 D.3

解析：①②显然成立，③前5个全答对，后5个全答错，符合题意． 答案：D

12．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝

f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)＝( )

A．sin x＋cos x C．sin x－cos x

B.－sin x－cos x D.－sin x＋cos x

解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，f6(x)＝f5′(x)＝cos x－sin x，…， 可知fn(x)是以4为周期的函数，∵2 017＝504×4＋1， ∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x. 答案：A 二、填空题

13．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是 . 解析：由已知条件知z＋1＝(－3＋2i)·(－i)＝2＋3i，∴z＝1＋3i. 答案：1

14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形1,3,6,10，…，第n个三角形数为

n?n＋1?121

＝n＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边

2

2

2

形数中第n个数的表达式： 121

三角形数N(n,3)＝n＋n，

22正方形数N(n,4)＝n， 321

五边形数N(n,5)＝n－n，

22六边形数N(n,6)＝2n－n， …

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝ . 121

解析：原已知式子可化为N(n,3)＝n＋n＝

223－224－3

n＋n， 22

22

N(n,4)＝n2＝

3

2

4－224－4

n＋n， 2212

5－224－5

n＋n， 22

N(n,5)＝n2－n＝N(n,6)＝2n2－n＝

6－224－6n＋n， 22

由归纳推理可得N(n，k)＝

k－224－kn＋n.

2

2

24－24－242

故N(10,24)＝×10＋×10＝1 100－100＝1 000.

22答案：1 000

15．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式： 2＝3＋5,3＝7＋9＋11,4＝13＋15＋17＋19.

根据上述分解规律，若m(m∈N)的分解式中最小的数是73，则m的值为 . 解析：根据2＝3＋5,3＝7＋9＋11,4＝13＋15＋17＋19，从2起，m的分解规律恰为数列3,5,7，9…，若干连续项之和，2为前两项和，3为接下来三项和，故m的首数为m－m＋1.∵m(m∈N)的分解中最小的数是73，∴m－m＋1＝73，∴m＝9. 答案：9

16．在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.若ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为

3

*

2

3

3

3

2

3

3

3

3

3

3

*

3

3

3

PaPbPchahbhcPa，Pb，Pc，Pd，则类比上述结论，三棱锥中的类似结论为__________________________．

解析：设三棱锥的体积为V，则VP－ABC＋VP－BCD＋VP－CDA＋VP－DAB＝V，V＝VD－ABC＝VA－BCD＝VB－CDA＝VC－DAB，由比例可得

VP－ABCVP－BCDVP－CDAVP－DABVP－ABCVP－BCDVP－CDAVP－DAB＋＋＋＝1，即＋＋＋＝1， VVVVVD－ABCVA－BCDVB－CDAVC－DAB1111

S△ABC·PdS△BCD·PaS△CDA·PbS△DAB·Pc2222亦即＋＋＋＝1，

1111S△ABChdS△BCD·haS△CDA·hbS△DAB·hc2222所以＋＋＋＝1. 答案：＋＋＋＝1

PaPbPcPdhahbhchdPaPbPcPdhahbhchd