统编版2020届高考数学一轮复习 第九章 统计、统计案例 课堂达标51 变量间的相互关系与独立性检验

课堂达标(五十一) 变量间的相互关系与独立性检验

[A基础巩固练]

1．(2018·湖北七市联考)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关

关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同)，^

用回归直线方程y＝bx＋a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )

A．线性相关关系较强，b的值为1.25 B．线性相关关系较强，b的值为0.83 C．线性相关关系较强，b的值为－0.87 D．线性相关关系较弱，无研究价值

[解析] 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y＝x的斜率要小一些，综上可知应选B.

[答案] B

2．(2018·山东省青岛市数学一模试卷)已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的

^

一组数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程为y＝1.3x－1，则m＝______________.

x y 1 0.1 2 1.8 3 4 4 m ^[解] 由题意，x＝2.5，代入线性回归方程为y＝1.3x－1，可得y＝2.25， ∴0.1＋1.8＋m＋4＝4×2.25，∴m＝3.1. 故答案为3.1. [答案] 3.1

3．(2018·兰州、张掖联考)对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i^

1

＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y＝x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋

3

^

^

y8)＝6，则实数a的值是( )

A.

1111 B. C. D. 16842

1

^

33?313^1?[解析] 依题意可知样本中心点为?，?，则＝×＋a，解得a＝.

8348?48?

[答案] B

4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好 不爱好 总计 由K＝

22

男 40 20 60 女 20 30 50 ，

总计 60 50 110 a＋bnad－bc2c＋da＋c2

b＋d110×40×30－20×20

算得K＝

60×50×60×50附表：

≈7.8.

P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是( ) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

[解析] 根据独立性检验的定义，由K≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.

[答案] C

5．(2017·山东)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，

^

^

^

10

10

^

2

设其回归直线方程为y＝bx＋a.已知?xi＝225，?yi＝1 600，b＝4.该班某学生的脚长为24，

i＝1

i＝1

据此估计其身高为( )

A．160 C．166

^

B．163 D．170

[解析] 由已知x＝22.5，y＝160，∴a＝160－4×22.5＝70，y＝4×24＋70＝166，选C.

[答案] C

2

6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

甲班 乙班 合计 附：

优秀 10 非优秀 合计 b 30 c P(K2≥k0) k0 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 2已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是( )

7A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50

C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” [解析] 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，

b＝45，选项A、B错误．

根据列联表中的数据，

105×10×30－20×45

得到K＝

55×50×30×75

2

2

≈6.109>5.024，

因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”． [答案] C

^

7．(2018·济宁二模)已知下表所示数据的回归直线方程为y＝4x＋242，则实数a＝______.

x y 2 251 3 254 4 257 5 6 266 a 2＋3＋4＋5＋6^

[解析] 回归直线y＝4x＋242必过样本点的中心(x，y)，而x＝＝4，

5

y＝∴

251＋254＋257＋a＋2661 028＋a＝，

55

1 028＋a＝4×4＋242， 5

解得a＝262. [答案] 262

8．(2018·山东省济宁市二模试卷)为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本

3

班50人进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：

男生 女生 合计 2喜爱打篮球 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50 经计算得到随机变量K的观测值为8.333，则有__________%的把握认为喜爱打篮球与性别有关(临界值参考表如下).

P(K2≥K0) K0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 20.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 [解析] 根据表中数据计算得到随机变量K的观测值为8.333，对照临界值表知8.333＞7.879，

∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关． [答案] 99.5

9．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为______cm.

[解析] 儿子和父亲的身高可列表如下：

父亲身高 儿子身高 173 170 170 176 176 182 ^^^^^^

设回归直线方程y＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a＝y－b x＝176－173^

＝3，故回归直线方程为y＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.

[答案] 185

10．(2018·唐山一模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：

天数t(天) 繁殖个数y(千个) (1)求y关于t的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

n3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 7 6 ^

b＝

i＝1

ti－tnyi－y2

^^

，a＝y－b t.

i＝1

ti－t[解] (1)由表中数据计算得，

4