中考数学一轮专题复习一元二次方程及应用精讲精练浙教版

第8讲 一元二次方程

考点一、一元二次方程的有关概念

【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) 122

A．x＋2＝0 B．ax＋bx＋c＝0

xC．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x－2xy－5y＝0

方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④. 举一反三 方程x+ax+1=0和x﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（ ） A．0 B．1 C．2 考点二、一元二次方程的解法

【例2】 解方程：（2x﹣1）=x（3x+2）﹣7

方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．

举一反三 1.解方程：（x+4）（x+1）=2x（4+x）

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D．3

??x?2?y?1?52.解方程组：?

x?y?12??

3.解方程组：

4.解关于x的方程：a（x﹣x+1）﹣a（x﹣1）=（a﹣1）x．

考点三、一元二次方程根的判别式的应用

【例3】如果关于x的方程（m+1）x+2mx+m﹣1=0有实数根，则（ ） A．m≠1 B．m=﹣1 C．m≠±1 D．m为全体实数

方法总结 由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．

一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况． 举一反三 1.关于x的方程kx﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 ． 2.已知关于x的一元二次方程x﹣2x+a（x+a）=0的两个实数根为x1，x2，若y=x1+x2+（1）当a≥0时，求y的取值范围；

（2）当a≤﹣2时，比较y与﹣a+6a﹣4的大小，并说明理由．

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．

考点四、一元二次方程根与系数的关系

【例4】已知关于x的方程x－2(k－1)x＋k＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围；

(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a≠0，②b－4ac≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．

举一反三 1.已知m，n是方程x+2x﹣5=0的两个实数根，则m﹣mn+3m+n= ．

2. 若t是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根，则判别式??b2?4ac和完全平方式M=?2at?b?的大小关系是( )

A.△=M B.△＞M C.△＜M D.大小关系不能确定 3. 已知，关于x的一元二次方程x﹣（a﹣4）x﹣a+3=0（a＜0）． （1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y是关于a的函数，且y=函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a的方程y+a+1=0的解．

，求这个

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考点五、用一元二次方程解实际问题

【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2014年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2016年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2014年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2016年的年产量为多少万辆？

方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．

举一反三 受房贷收紧、对政策预期不确定等因素影响，今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价齐跌态势，数据显示，2016年前两个月，某房地产开发公司的销售面积一共8300平方米，其中2月份比1月份少销售300平方米． （1）求2016年1、2月份各销售了多少平方米；