高中数学 随机变量及概率分布

12.4 随机变量及概率分布

一、填空题

1.下列变量为离散型随机变量的是_______． ①掷10枚硬币出现的正面个数与负面个数之和�� ② 某机场每天正常情况下起飞的飞机数�� ③某公司办公室每天收到电话的次数�� ④ 高三（9）班某学生的身高

解析 ①、②、④ 中的随机变量结果无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量; ③中的随机变量的可能取的值都可以按一定次序一一列出，故它是离散型随机变量. 答案 ③ ��

2. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为_______．

解析 X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8,4＋5＝9，共7种． 答案 7

3.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝

k (k＝1,2,3)，则P(X＝2)等于2a_______．

1231解析 ∵++＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝.

2a2a2a31答案 ��

34．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．

解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量．

2C1279C3

当X＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P(X＝4)＝3＝. C12220

答案

27 220

5．设随机变量X的概念分布P(X＝k)＝

ck＋1

，k＝0、1、2、3，则c＝________.

解析 由P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1得：＋＋＋＝1，

1234∴c＝答案

12. 2512 25

cccc6．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________． 解析 设X的概率分布为：

X P 0 1 2p p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的1

概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝. 3答案

1 3

7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于________．

解析 “X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白353?3?9?5?29??10??2

????????. 球，因此P(X＝12)＝C9＝C11118?8??8??8??8??3?10?5?2

答案 C911????

?8??8?

8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于________．

2C144C2

解析 P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－3＝.

C65

答案

4 5

3

9．连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为，则射4击次数为3的概率为________．

解析 “X＝3”表示“前两次未击中，且第三次击中”这一事件， 1133

则P(X＝3)＝××＝. 444643

答案

64

7??1

10．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，(i＝1,2,3,4)，则P?＜X＜?＝

2?10?2________.

7?3?1

解析 P?＜X＜?＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝. 2?5?23

答案

5

11．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.

i

解析 法一 由已知，X的取值为7,8,9,10，

1121C21C232C22C1＋C2C2

∵P(X＝7)＝3＝，P(X＝8)＝＝，

C55C3105111C12C212C2C12C1

P(X＝9)＝3＝，P(X＝10)＝3＝，

C55C510

∴X的概率分布为

X P 7 1 58 3 109 2 510 1 10∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝

3214＋＋＝. 105105

1C242C2

法二 P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－3＝.

C55

答案

4 5

12．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则

X的所有可能取值是________． 解析 X＝－1，甲抢到一题但答错了．

X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错． X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X＝2时，甲抢到2题均答对． X＝3时，甲抢到3题均答对． 答案 －1,0,1,2,3

13．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有1人是女生的概率是

34

.则n＝________. 35

C33

解析 三人中没有女生的概率为3.

Cn＋3

C33

∴三人中至少有一人是女生的概率为：1－3

Cn＋3C3343

由题意得：1－3＝.解得n＝4.

Cn＋335答案 4 二、解答题

14.设离散型随机变量X的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列．

解析 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.