2013年高三模拟考试 理科数学带答案

所以DN⊥平面ABCD.

如图建立空间直角坐标系D?xyz.????5分 则D(0,0,0)，E(3,0,0)，

C(0,2,0)，P(3,?1,h).

????????CE?(3,?2.0)，EP?(0,?1,h).…??7分

设平面PEC的法向量为n1?(x,y,z).

???????3x?2y?0,?CE?n1?0,则???? 所以 ??????y?hz?0.?EP?n1?0.令y?3h.

所以n1?(2h,3h,3).……………………………………………………………9分 又平面ADE的法向量n2?(0,0,1) …………………………10分 所以cos?n1,n2??n1?n23. …………………………11分 ?n1?n22即

37h2?3?73，解得h??1

72?所以在线段AM上存在点P，使二面角P?EC?D的大小为6，此时AP的长为

7 ……………………………………………………………12分. 7（19）（文科）（本小题满分12分）

设数列{an}的前n项和为Sn，点(an,Sn)在直线y?（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）在an与an?1之间插入n个数，使这n?2个数组成公差为dn的等差数列，求数列?前n项和Tn.

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3x?1上. 2??1??的d?n??（19）解：（Ⅰ）由题设知，Sn?得Sn?1?3an?1 23an?1?1(n?N*,n?2)）………?????????2分 23两式相减得：an?(an?an?1) ……??????????4分

23即an?3an?1(n?N*,n?2)，又S1?a1?1 得a1?2

2所以数列?an?是首项为2，公比为3的等比数列， 所以an?2?3n?1. ………………………?6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知an?1?2?3n，an?2?3n?1

4?3n?1因为an?1?an?(n?1)dn 所以dn?

n?1所以

1n?1.????????8分 ?n?1dn4?31111???…?， d1d2d3dn令Tn?则Tn?n?1234????… ① 4?304?314?324?3n?1nn?1123Tn?????… ②……………??????10分 34?314?324?3n?14?3n22111n?1?????①…②得Tn?… 012n?1n34?34?34?34?34?311(1?n?1)11n?152n?53…………………………????11分 ???3???nn1244?388?31?3152n?5?Tn?? ??????????????12分 n?11616?3（19）(理科)（本小题满分12分）

设数列{an}的前n项和为Sn，点(an,Sn)在直线y?（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）在an与an?1之间插入n个数，使这n?2个数组成公差为dn的等差数列，

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3x?1上. 2 求数列??1?8n40?nT??的前项和，并求使成立的正整数n的最小值. T?nnn-155?327d??n?3an?1 2（19）解：（Ⅰ）由题设知，Sn?得Sn?1?3an?1?1(n?N*,n?2)），…………………?????2分 23两式相减得：an?(an?an?1)， ……………………????4分

23即an?3an?1(n?N*,n?2)，又S1?a1?1 得a1?2，

2所以数列?an?是首项为2，公比为3的等比数列，

∴an?2?3n?1. ………………????6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知an?1?2?3n，an?2?3n?1

4?3n?1因为an?1?an?(n?1)dn ， 所以dn?

n?1所以

1n?1 ………?????8分 ?dn4?3n?11111???…?， d1d2d3dn令Tn?则Tn?n?1234????… ① 012n?14?34?34?34?3nn?1123Tn?????… ②………………………………10分 34?314?324?3n?14?3n22111n?1?????①?②得Tn?…

34?304?314?324?3n?14?3n11(1?n?1)11n?152n?53 ……………………………??11分 ???3???nn1244?388?31?3152n?5?Tn??

1616?3n?18n403140n???所以Tn?，即，3?81 n-1n-155?32722?327得n?4

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所以，使Tn?85n40?成立的正整数n的最小值为4……………???12分 n-15?327（20）(文科)（本小题满分12分）

某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为整数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率． 解：（I）

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 频率 ?50,60? ?60,70? ?70,80? ?80,90? ?90,100? 5 0.05 0.35 a 30 20 10 100 b 0.20 0.10 1.00 a?35,b?0.30…………………………………

…………………………12分 合计 （Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以

利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：

6?30?3人， 606?20?2人， 第4组：606?10?1人， 第5组：60所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人.

第3组：

????6分

4215设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第组的位同学为B1、B2，第组的位同学为C1，则

从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：

?A1,A2?,?A1,A3?,?A1,B1?,?A1,B2?,?A1,C1?,?A2,A3?,?A2,B1?,?A2,B2?,?A2,C1?,?A3,B1?,?A3,B2?,?A3,C1?,?B1,B2?,?B1,C1?,?B2,C1?,…???10分

所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为

93?…???12分 155

（20）（理科）（本小题满分12分）

在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x、y，

????2设O为坐标原点，点P的坐标为(x?2,x?y)，记??OP．

（I）求随机变量?的最大值，并求事件“?取得最大值”的概率；

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