高考数学总复习2021版人教B版高2021届高2018级第二章函数第4节 幂函数与二次函数

第4节 幂函数与二次函数

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考试要求 1.通过具体实例,结合y＝x,y＝x,y＝x2,y＝x,y＝x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数;2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知 识 梳 理

1.幂函数 (1)幂函数的定义

一般地,形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0,＋∞)上都有定义;

②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减. 2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质 函数 图象 (抛物线) 定义域 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 ?4ac－b2??? ，＋∞?4a?x＝－b 2a R 4ac－b2???－∞，? 4a?? y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) ?b4ac－b2??－，? 4a??2a当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 b??在?－∞，－2a?上是减函数; ???b?在?－2a，＋∞?上是增函数 ??b??在?－∞，－2a?上是增函数; ???b?在?－2a，＋∞?上是减函数 ??单调性 [常用结论与微点提醒] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. ?a>0，?a<0，

2.若f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0),则当?时恒有f(x)>0;当?时,恒有f(x)<0.

?Δ<0?Δ<0

2

3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限;

(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x3是幂函数.( )

(2)当α>0时,幂函数y＝xα在(0,＋∞)上是增函数.( )

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) 4ac－b2

(4)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈[a,b])的最值一定是4a.( )

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1

解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα,故y＝2x3不是幂函数,(1)错.

(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,两个零点不能确定函数的解析式. 4ac－b2bb

(4)对称轴x＝－2a,当－2a小于a或大于b时,最值不是4a,故(4)错. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

?12?

2.(多填题)(老教材必修1P110A3改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点?，?,

?22?则k＝________,α＝________.

解析 因为f(x)＝k·xα是幂函数,所以k＝1. 2?12??1?

又f(x)的图象过点?，?,所以?2?＝2,

???22?1

所以α＝2. 1

答案 1 2

3.(新教材必修第一册P111B8改编)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是________.

解析 当a＝0时,f(x)＝2x－3在(－∞,4)单调递增. 当a≠0时,f(x)在(－∞,4)上单调递增. a<0，??1?则a需满足解得－4≤a<0. 1－≥4，??a1

综上可知,－4≤a≤0. ?1?答案 ?－4，0?

??

4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝23,b＝33,c＝253,则( ) A.b

4

2

4

2

1

α

B.a

2

2

2

解析 因为a＝23＝43,b＝33,c＝53又y＝x3在(0,＋∞)上是增函数,所以c>a>b.

答案 A

5.(2020·辽宁省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0,＋∞),则实数m的取值范围为( ) A.{0,－3} C.{0,3}

B.[－3,0]

D.(－∞,－3]∪[0,＋∞)

解析 依题意,得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0,则m＝0或m＝－3.∴实数m的取值范围是{0,－3}. 答案 A

??116.(2018·上海卷)已知α∈?－2，－1，－2,2，1，2，3?.若幂函数f(x)＝xα为奇函

??

数,且在(0,＋∞)上递减,则α＝______. 解析 由y＝xα为奇函数,知α取－1,1,3. 又y＝xα在(0,＋∞)上递减,∴α<0,取α＝－1. 答案 －1

考点一 幂函数的图象和性质

【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y＝f(x)的大致图象是( )

?1?

(2)(2020·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上,设a＝f?3?,b

??1

＝f(ln π),c＝f(2－2),则a,b,c的大小关系是( ) A.a

B.a

解析 (1)设幂函数的解析式为y＝xα, 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2), 1

所以2＝4,解得α＝2. α

所以y＝x,其定义域为[0,＋∞),且是增函数,当0