2018年高考数学（理）（江苏专用）总复习教师用书第十一章计数原理、随机变量及其分布第3讲二项式定理及其

第3讲 二项式定理及其应用

考试要求 1.二项式定理，B级要求；2.利用二项式定理解决与二项式有关的简单问题，B级要求．

知 识 梳 理

1．二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)＝Cna＋Cna(2)通项公式：Tr＋1＝Cnarn－rrn0n1n－1

n－rrn*

b＋…＋Crb＋…＋Cnnanb(n∈N)；

b，它表示第r＋1项；

0

1

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Cn，Cn，…，Cn. 2．二项式系数的性质

性质 对称性 性质描述 与首末等距离的两个二项式系数相等，即Cn＝Cn 二项式 增减性 系数Cn 二项式 系数最大值

3．各二项式系数和

(1)(a＋b)展开式的各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2

n－1

0

2

4

1

3

5

nkn－k当k＜当k＞n＋122(n∈N)时，是递增的 (n∈N)时，是递减的 **kn＋1当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取最大值 n012nn.

诊 断 自 测

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)Cnakn－kkb是二项展开式的第k项．( )

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )

(4)(a＋b)某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )

解析 二项式展开式中Cnakn－kknnb是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，

系数最大的项不一定是中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．(2015·北京卷)在(2＋x)的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．

5

3

解析 展开式通项为：Tr＋1＝C52答案 40

r5－rr5－3

x，∴当r＝3时，系数为C3＝40. 5·2

1?????x－x?6，x<0，

?3．(2013·陕西卷)设函数f(x)＝????－x，x≥0，式中常数项为________(用数字作答)．

则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开

解析 当x>0时，f(x)＝－x<0，所以f[f(x)]＝f(－x)＝?

?1－x?6

?，

?x?

Tr＋1＝ (6－r)·＝由r－3＝0，得r＝3.

所以f[(f(x))]表达式的展开式中常数项为(－1)C6＝－20. 答案 －20

4．(2017·石家庄调研)(1＋x)的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________. 解析 (1＋x)的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以＋1＝6，n＝10.

2答案 10

nn33

n?22?5

5．(选修2－3P36习题6(2)改编)?x－3?展开式中的常数项为________(用数字作答)．

x?

?

解析 Tk＋1＝C5(x)＝40. 答案 40

考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数

k25－k?－23?k＝Ck(－2)kx10－5k.令10－5k＝0，22

则k＝2.∴常数项为T3＝C5(－2)?x?5

??

?31?

?n的展开式中，第6项为常数项． 【例1】 已知在?x－

?3?

2x??

(1)求n；

(2)求含x的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解 (1)通项公式为

2

因为第6项为常数项，所以k＝5时，10－2k(2)令＝2，得k＝2，

3

n－2×5

3

＝0，即n＝10.

1?24522?故含x的项的系数是C10?－?＝. ?2?410－2k??3∈Z，

(3)根据通项公式，由题意?0≤k≤10，

??k∈N，

10－2k3

令＝r (r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，

32∵k∈N，∴r应为偶数．

∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 4526345－2

它们分别为x，－，x.

48256

规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和

r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；

第二步是根据所求的指数，再求所求的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷改编)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数为________(用数字作答)．

(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x＋x)的展开式中，x的系数是________(用数字作答)． 解析 (1)法一 (x＋x＋y)＝[(x＋x)＋y]， 含y的项为T3＝C5(x＋x)·y.

其中(x＋x)中含x的项为C3x·x＝C3x. 所以xy的系数为C5C3＝30.

法二 (x＋x＋y)表示5个x＋x＋y之积．

∴xy可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x，一个取x.因此xy的系数为C5C3C1＝30.

(2)由(2x＋x)得Tr＋1＝C5(2x)2

5－rr5

5

52

2

52

221

2

5

2

52

21

2

3

5

14

15

2

2

2

3

2

2

5

2

5

5

3

2

5

52

r5－r(x)＝

rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.

22

rr答案 (1)30 (2)10

考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 【例2】 在(2x－3y)的展开式中，求： (1)二项式系数的和；

10

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和；

解 设(2x－3y)＝a0x＋a1xy＋a2xy＋…＋a10y，(*)

各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋

10

10

9

82

10

a5＋…＋a9.

由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数的和为C10＋C10＋…＋C10＝2. (2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)＝(－1)＝1. (3)奇数项的二项式系数和为C10＋C10＋…＋C10＝2， 偶数项的二项式系数和为C10＋C10＋…＋C10＝2. (4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)， 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝5，② ①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋5， 1＋5

∴奇数项系数和为；

2

①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－5， 1－5

∴偶数项系数和为. 2

规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)、(axmn2

10

10

10

10

101

3

9

9

0

2

10

9

10

10

0

1

10

10

＋bx＋c) (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by) (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝

2

nnf＋f－2

，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝

f－f－2

.

26

2

12

【训练2】 (1)(2017·镇江质检)若(1＋x＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a12x，则a2＋a4＋…＋a12＝________.

(2)(2017·重庆模拟)(1－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝________.

解析 (1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝3，

3＋1

令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝. 2

6

6

5

2

3

4

5