2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)

考点：余弦定理，二倍角公式 16.（本题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AC?BC，BC?CC1，设AB1的中点为D， （1）DE//平面AA1C1C； B1C?BC1?E.求证： （2）BC1?AB1.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】

试题分析：（1）由三棱锥性质知侧面BB1C1C为平行四边形,因此点E为B1C的中点，从而由三角形中位线性质得DE//AC，再由线面平行判定定理得DE//平面AA1C1C（2）因为直三棱柱ABC?A1B1C1中

BC?CC1，所以侧面BB1C1C为正方形，因此BC1?B1C，又AC?BC，AC?CC1（可由直三棱柱推导），

因此由线面垂直判定定理得AC?平面BB1C1C,从而AC?BC1，再由线面垂直判定定理得BC1?平面AB1C,进而可得BC1?AB1

考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理 17.（本小题满分14分）

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路

l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数20千米和2.5千米，以l1，y?

a（其中a，b为常数）模型. x2?b

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f?t?，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

9?10692【答案】（1）a?1000,b?0;（2）①f(t)??t,定义域为[5,20]，②t?102,f(t)min?153千米 4t4（2）①由（1）知，y?1000?1000?（），则点的坐标为5?x?20??t,2?， x2?t?设在点?处的切线l交x，y轴分别于?，?点，y???2000， 3x

考点：利用导数求函数最值，导数几何意义 18.（本小题满分16分）

x2y22 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，且右焦点F到左

2ab准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.