(完整word版)湘教版初中数学知识点总复习资料

知识点四 ：命题与证明

9.命题与证明 （1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题. （2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成\如果p，那么q\的形式，其中p是题设，q是结论. （3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了. 例：下列命题是假命题的有( ③ ) ①相等的角不一定是对顶角； ②同角的补角相等； ③如果某命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题； ④若某个命题是定理，则该命题一定是真命题. 第15讲 一般三角形及其性质

一、 知识清单梳理 知识点一：三角形的分类及性质 （1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类 关键点拨与对应举例 1.三角形的分类 失分点警示： ?直角三角形?不等边三角形在运用分类讨论思想计算等腰??三角形?三角形??锐角三角形?底和腰不相等的等腰三角形 三角形周长时，必须考虑三角形?斜三角形?钝角三角形?等腰三角形?等边三角形???? 三边关系. 例：等腰三角形两边长分别是32.三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 和6，则该三角形的周长为15. （1）内角和定理： ①三角形的内角和等180°； 3.角的关 ②推论：直角三角形的两锐角互余. （2）外角的性质： 系 ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. ②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. 性 质 四线 （1） 角平线上的点到角两边的距离相等 角平分线 （2） 三角形的三条角平分线的相交于一点（内心） （1） 将三角形的面积等分 4.三角形中线 （2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 中的重锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高 高 要线段 相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半 利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解. （1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件. （2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠C）-（90°-∠C）=11∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-221(∠C-∠B）； 21∠A+90°； 25. 三角形11BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=中内、外如图③，22如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=角与角平分线的规律总结 ∠O； 如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-1∠A. 2对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果. 知识点二 ：三角形全等的性质与判定 6.全等三

(1)全等三角形的对应边、对应角相等． (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 一般三角形全等 直角三角形全等 SSS（三边对应相等） SAS（两边和它们的夹角对应相等） ASA（两角和它们的夹角对应相等） AAS（两角和其中一个角的对边对应相等） 角形的性质 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 失分点警示 如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等. 7.三角形全等的判定 (1)斜边和一条直角边对应相等（HL） (2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS. 8.全等三角形的运用 （1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法： ①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等. ②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④. 例： 如图，在△ABC中，已知∠1=∠AB=5CE=3. 2，，，BE=CDAE=2，则 第16讲 等腰、等边及直角三角形

知识点一：等腰和等边三角形 （1）性质 关键点拨与对应举例 （1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形. ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC?∠B＝∠C； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 1.等腰三角形 互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴. （2）判定 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°. （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB. 例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9. （1）性质:①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴. 2.等边（2）判定 三角形 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形. 知识点二 ：角平分线和垂直平分线

3.角平分线 4.垂直平分线图形 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 ∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 分线上． （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB. （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． (1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°； A例：如图，△ABC中，∠C=90°，PCO12B∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6. CPAOB知识点三：直角三角形的判定与性质 （1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问B5.直角三角形的性质 1(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB； 2(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则A1bCD＝AB. 2C(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 . (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△； (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△ (3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△. AbCcDa题. （2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论. 6.直角三角形的判定 cD（3）在折叠问题中，求长度，往Ba往需要结合勾股定理来列方程解决. 第17讲 相似三角形

知识点一：比例线段 关键点拨与对应举例 1. 比例 线段 列比例等式时，注意四条线段的大小ac?，顺序，防止出现比例混乱. bd那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 已知比例式的值，求相关字母代数式的值，ac(1)基本性质：?? ad＝bc；（b、d≠0） bd常用引入参数法，将所有的量都统一用含同在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即2.比例 的基本性质 aca?bc?d(2)合比性质：??＝；（b、d≠0） bdbd一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解. 例：若l1ABCl2DEFl3l4l5acm(3)等比性质：?＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)? bdna?c?...?m＝k.（b、d、···、n≠0） b?d?...?n（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则a3a?b8?，则?. b5b5ABDE. ?BCEF3.平行线分线OAOB. ?段成比即如图所示，若AB∥CD，则ODOC例定理 （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. CAOB利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，5要使DE∥AB，那么BC：CD应等于. 3DADBEC4.黄金例：把长为10cm的线段进行黄金分5－1AC点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，AB2分割

那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 割，那么较长线段长为5(5－1)cm． 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. 5.相似(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，三角ACABB，则△ABC∽△DEF. ?形的DFDE判定 (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如ABACBC图，若，则△ABC∽△DEF. ??BDEDFEF(1)对应角相等，对应边成比例． DA判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 FBCE件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 DA夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 FCE中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 DACEF或找底、腰对应成比例. 例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4. (2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2. （1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果. 6.相似 三角形的性质 (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 7.相似三角形的基本模型 第18讲 解直角三角形

知识点一：锐角三角函数的定义 ∠A的对边a正弦: sinA＝＝ c斜边关键点拨与对应举例 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 1.锐角三角函数 ∠A的邻边b余弦: cosA＝＝ c斜边∠A的对边a正切: tanA＝＝. ∠A的邻边b 度数 三角函数 sinA 30° 45° 60° 2.特殊角的三角函数值 cosA 1 22 23 21 23 23 32 21 tanA 知识点二 ：解直角三角形 3