利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？

你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?

·B ·A ·B ·A a M ·B ·A a M N a ·A′ 图1 图2 ·A′ 图3

思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。设A′是A的对称点，本问题也就是要使A′M与BM的和最小。在连接A′B的线中，线段A′B最短。因此，线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。

如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、A′N。

因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。 ∴AM+BM= A′M+BM= A′B 在△A′BN中， ∵A′B＜A′N+BN ∴AM+BM＜AN+BN 即AM+BM最小。

教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。

一、三角形中的轴对称

题目1： 如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是

__

点评：本题只要把点C、D看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB看成燃气管道a，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。

A

E C

D 第1题图

B

二、四边形中的轴对称

题目:2：如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？

点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D关于直线AC的对称点正好是点B，最小值为MB＝10。 A D

N M

B 第2题图 C

三、圆中的轴对称

题目3：已知：如图，已知点A是⊙O上的一个六等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，求AP+BP的最小值。

第3题图

点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B的对称点B′在圆上，AB′交ON于点p′,由∠AON﹦60°, ∠B′ON﹦30°，∠AOB′﹦90°，半径长为1可得AB′﹦当点P运动到点p′时，此时AP+BP有最小值为

2

2。

四、立体图形中的轴对称

题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，已知盒高h＝10cm，底面圆的周长为32cm，A距离下底面3cm．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为cm．

h A B

B′

E

H ·B

A F

C G

第4题图1

第4题图2

点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B关于EH的对称点B′,作AC⊥GH于点C,连接A B′。在Rt△A B′C中，AC﹦16, B′C﹦12,求得A B′﹦20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。

综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

11．(2015南宁）如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，?MAB?20, N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=1，

则?PMN周长的最小值为（ ）

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

OMNAPOB图6图5

9．（2015资阳）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是

A．13cm

B．261cm

C．61cm

D．234cm

跟踪练习1：如图7，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_______________。

图7

3、变形3：点A的坐标为（0，2）点，点B是半径为

的⊙B的圆心，点B的坐标为（4，

2），请你探索在x轴上是否存在一个点C以及在⊙B上是否存在一个点D，使得AC+CD最小，若存在，请你在图中作出点C和点D，并求出点C、D的坐标和AC+CD的最小值；若不