04第四讲 随机变量的数字特征

第四讲 随机变量的数字特征

考纲要求

1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数），会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.

2.会求随机变量函数的数学期望.

一、随机变量的数字特征

问题1 叙述随机变量的数学期望的定义、性质及随机变量函数的数学期望公式. 答 随机变量的数学期望是随机变量的平均值，它反映随机变量取值的中心位置. 1.定义与公式

⑴离散型随机变量X的概率分布为P?X?xi??pi(i?1,2,?),EX?⑵离散型随机变量X的概率分布为P?X?xi??pi(i?1,2,?)，

Eg(X)??xiipi；

?g(x)piii；

⑶二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为P?X?xi,Y?yj??pij(i,j?1,2,?)，

Eg(X,Y)???g(x,yiijj)pij；

⑷连续型随机变量X的概率密度为f(x),EX??????xf(x)dx；

⑸连续型随机变量X的概率密度为f(x),Eg(X)?⑹二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),

Eg(X,Y)??????g(x)f(x)dx；

??????????g(x,y)f(x,y)dxdy.

2性质

⑴Ec?c；

⑵EkX?kEX； ⑶E(X?c)?EX?c； ⑷E(X?Y)?EX?EY；

⑸若X与Y相互独立，则E(XY)?EX?EY； 问题2 叙述随机变量的方差的定义与性质.

答 随机变量的方差反映随机变量取值的离散程度.

21.定义 随机变量X的方差DX?E(X?EX)，标准差DX. 2.性质 ⑴D(c)?0；

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⑵D(kX)?k2DX； ⑶D(X?c)?DX；

⑷若X与Y相互独立，则D(X?Y)?DX?DY； ⑸DX?EX2?(EX)2.

问题3 叙述随机变量的矩的定义.

答 随机变量X的k阶原点矩ak?EXk，k阶中心矩bk?E(X?EX)k. 显然，随机变量的数学期望是一阶原点矩，随机变量的方差是二阶中心矩.

问题4 如何求随机变量的数字特征？

答 随机变量的数字特征是重点，也是常考点，读者务必在理解概念的基础上，熟练掌握计算数字特征的方法：

⑴利用定义（6个公式）⑵用性质，计算时，要充分利用独立性条件. 例

?1,X?0,?1.设随机变量X在??1,2?上服从均匀分布，令随机变量Y??0,X?0,则方差

??1,X?0,?89DY? .【

，提示：先求Y的分布，再利用公式DY?EY2?(EY)2】

2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

⑴乙箱中次品数X的数学期望；

⑵从乙箱中任取一件产品是次品的概率p.【⑴EX?32 ⑵

14】

7123.设随机变量X的概率密度为f(x)??a? ，b? .

?ax?b,x?[0,1]?0,x?[0,1]且已知EX?，则

【提示：?????f(x)dx??10(ax?b)dx?1，?????xf(x)dx??10x(ax?b)dx?712】

4.设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每

一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量.

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?1,10?x?30,?解 X服从区间[10,30]上均匀分布，概率密度f(x)??20

?0,else.?设进货量为a，则

当10?X?a时，利润Y?500X?100(a?X)?600X?100a 当a?X?30时，利润Y?500a?300(X?a)?300X?200a

?600X?100a,10?X?a,?300X?200a,a?X?30,故Y?g(X)??利润期望值

EY?

?????g(x)f(x)dx??a10(600x?100a)120dx??230a(300x?200a)120dx

令EY?9280，解得a?21 5.已知随机变量X的概率密度函数f(x)?121?e?x?2x?1，则EX? ，DX? .

【1；】

问题5 叙述协方差、相关系数的定义与性质 答

1.协方差

定义 随机变量X与Y的协方差Cov(X,Y)?E(X?EX)(Y?EY). 协方差具有如下性质： ⑴Cov(X,Y)?Cov(Y,X)； ⑵Cov(aX,bY)?abCov(X,Y)； ⑶Cov(X?k,Y?h)?Cov(X,Y)；

⑷Cov(X,Y?Z)?Cov(X,Y)?Cov(X,Z)； ⑸Cov(X,X)?DX；

⑹Cov(X,Y)?EXY?EX?EY； ⑺D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y).

2.相关系数

相关系数刻画两个随机变量X与Y的线性相关程度.

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定义 随机变量X与Y的相关系数?XY?X与Y不相关.

Cov(X,Y)DXDY. 若?XY?0，则称随机变量

相关系数具有如下性质： ⑴?XY?1；

⑵?XY?1?P?Y?aX?b??1，特别：若Y?aX?b，则当a?0时，?XY?1，当a?0时，?XY??1.

问题6 设DX?0,DY?0，证明下列命题等价： ⑴X与Y不相关； ⑵Cov(X,Y)?0； ⑶EXY?EX?EY； ⑷D(X?Y)?DX?DY.

Cov(X,Y)DXDY证 由?XY?知，命题⑴和⑵等价；

由Cov(X,Y)?EXY?EX?EY知，命题⑵和⑶等价； 由D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)知，命题⑵和⑷等价； 由等价关系的传递性知，这四个命题等价. 问题7 随机变量的独立性与相关性有何关系？ 答 若X与Y独立，则X与Y一定不相关.

证明如下：X与Y独立?EXY?EX?EY?Cov(X,Y)?0??XY?0，即X与Y一定不相关.

若X与Y不相关，则X与Y不一定独立. 例如二维随机变量(X,Y)服从单位圆

G?{(x,y)x?y22?1}上的均匀分布，则X和Y不相关，且X与Y不独立.

注意 若X与Y的联合分布为二维正态分布，则X与Y独立的充要条件是X与Y不相关.

例

1.设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为P?X?1??23，P?X?2??13，

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U?max(X,Y)，V?min(X,Y)，求U与V的协方差Cov(U,V).【

481】 222.设X,Y独立且都服从N(0,(122))，求X?Y的期望与方差.【?;1??】

3.对40个人的血液进行化验时，将每4个人并为一组化验一次，如果合格，则4个人只化验一次，若不合格，再对这组4个人逐个进行化验，共化验5次。若40个人中血液不合格率为p，求化验次数的数学期望.【50?40(1?p)4】

4.设X1,X2,?,Xn(n?1)为独立同分布的随机变量，且都服从N(0,1)，记

1niX?X?ni?1,Yi?Xi?X,i?1,?,n，求

⑴DYi,i?1,?,n；

⑵Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn)； ⑶P{Y1?Yn?0}.【⑴

n?1n ⑵?1n ⑶

12】

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