(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质教案(含解析)

?ππ?6．设函数f(x)＝3sin?x＋?，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有

4??2

f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．

答案 2

解析 |x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期， 又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2.

π??7．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)?|φ|

2??_______．

π??k答案 ?π－，0?(k∈Z)

6?2?

π??解析 函数f(x)＝2sin(2x＋φ)?|φ|

2??∴sinφ＝

3ππ

，又|φ|<，∴φ＝， 223

π?π?则f(x)＝2sin?2x＋?，令2x＋＝kπ(k∈Z)，

3?3?则x＝

kππ

2

－(k∈Z)，

6

π??k∴函数f(x)图象的对称中心是?π－，0?(k∈Z)．

6?2?

π??8．已知函数f(x)＝2sin?ωx－?＋1(x∈R)图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，6??且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________． 答案

6π

5

π??解析 由函数f(x)＝2sin?ωx－?＋1(x∈R)图象的一条对称轴为x＝π， 6??ππ

可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，

6225

∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，

33∴函数f(x)的最小正周期为

2π6π

＝. 553

??π??9．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤?f ???对任意x∈R恒成立，??4???π?且f ??>0，则f(x)的单调递减区间是________________． ?6?

π3π??答案 ?kπ＋，kπ＋?(k∈Z) 44

??

21

ππ

解析 由题意可得函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，故有2×＋φ＝kπ

44π

＋，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z. 2

?π??π?又f ??＝sin?＋φ?>0，所以φ＝2nπ，n∈Z，所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin 2x. ?6??3?

π3ππ3π

令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

2244π3π??故函数f(x)的单调递减区间为?kπ＋，kπ＋?，k∈Z.

44??

??1π??10．已知函数f(x)＝?tan?x－??，则下列说法正确的是________．(填序号) 6????2

π

①f(x)的周期是；

2

②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；

5π

③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；

3

2ππ??④f(x)的单调递减区间是?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z. 33??答案 ④

5π1π

解析 函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－

326＝

2πkπ5ππ1π

≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－

2ππ?2ππ?

33?33?

可得2kπ－

k∈Z，④正确．

π??11．已知函数f(x)＝3cos?2x－?－2sinxcosx.

3??(1)求f(x)的最小正周期；

1?ππ?(2)求证：当x∈?－，?时，f(x)≥－. 2?44?(1)解 f(x)＝33

cos 2x＋sin 2x－sin 2x 22

13

＝sin 2x＋cos 2x 22π??＝sin?2x＋?.

3??

所以f(x)的最小正周期T＝

2π

＝π. 2

ππ

(2)证明 因为－≤x≤，

44

22

ππ5π所以－≤2x＋≤.

636

π?1??π?所以sin?2x＋?≥sin?－?＝－. 3?2??6?1?ππ?所以当x∈?－，?时，f(x)≥－.

2?44?

12．已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

?π?(2)讨论函数f(x)在?0，?上的单调性．

2??

π??解 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin?ωx－?(ω>0)，且T＝π，

4??π??∴ω＝2，f(x)＝2sin?2x－?.

4??

ππkπ3π

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

4228即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝(2)令2kπ－

kπ3π

2＋8

(k∈Z)．

πππ

≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为242

?kπ－π，kπ＋3π?(k∈Z)．

?88???

?π??π??3π?因为x∈?0，?，所以令k＝0，得函数f(x)在?0，?上的单调递增区间为?0，?；

2?2?8????

令

ππ3π

＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为242

?kπ＋3π，kπ＋7π?(k∈Z)， ??88??

?π??3ππ?令k＝0，得f(x)在?0，?上的单调递减区间为?，?.

2?2???8

23

??a，a≤b，

13．定义运算：a*b＝?

?b，a>b.?

例如1*2=1，则函数f(x)=sin x*cos x的值域为.

答案 ?－1，

?

?2?? 2?

解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可， π5π2??

设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sin x≥cos x，此时f(x)＝cos x，f(x)∈?－1，?，

442??π5π2??

当0≤x<或sin x，此时f(x)＝sin x，f(x)∈?0，?∪[－1,0]．

442??综上知f(x)的值域为?－1，

?

?2??. 2?

π??14．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1?ω>0，|φ|1对任意x∈?－，?恒成立，则φ的取值范围是________．

3?126?π??－，0? 答案 ??4?

解析 由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y＝3相2π邻两个交点的距离为，

3

2π2π2π

∴f(x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.

3ω3

?ππ?∵f(x)>1对任意x∈?－，?恒成立， ?126?

?ππ?∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0对任意x∈?－，?恒成立， ?126?

πππππ

∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，

42224

24