(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质教案(含解析)

5

答案 kπ－π，k∈Z

4

5?2π?9

解析 由题意，函数的周期T＝2×?π－π?＝2π，∴ω＝＝1，∴y＝cos(x＋φ)，当

4?T?4

??x＝π时，函数取得最大值或最小值，即cos?π＋φ?＝±1，可得π＋φ＝kπ，k∈Z，

55

54

?

4

?

4

∴φ＝kπ－5

4π，k∈Z.

题型四 三角函数的单调性

命题点1 求三角函数的单调区间

例3(1)若点P(1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上，则函数y＝3cos(x＋φ)，x∈[0，π]的单调递减区间为________．

答案 ??π?4，π???

解析 因为点P(1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上， 所以tanφ＝－1，φ＝－π4

，

即函数为y＝3cos???

x－π4???，

令0

4<π，且0≤x≤π，

解得π

4

≤x≤π.

(2)函数f(x)＝tan??π?

2x＋3???的单调递增区间是____________． 答案 ??kπ?2

－5π12，kπ2＋π12???(k∈Z) 解析 由kπ－π2<2x＋π3

2(k∈Z)，

得

kπ5π

2－12

kππ

2＋

12

(k∈Z)，

所以函数f(x)＝tan???2x＋π3???的单调递增区间为??kπ?2－5π12，kπ2＋π12???(k∈Z)． (3)函数y＝13??2sinx＋2cosx??x∈??0，π2??????

的单调递增区间是____________． 答案 ???

0，π6

???

解析 ∵y＝13?π?2sinx＋2cosx＝sin??

x＋3??，

13

πππ

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

2325ππ

解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

66

5ππ??∴函数的单调递增区间为?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)，

66??

?π?又x∈?0，?，

2??

?π?∴函数的单调递增区间为?0，?.

6??

命题点2 根据单调性求参数

π??π??例4已知ω>0，函数f(x)＝sin?ωx＋?在?，π?上单调递减，则ω的取值范围是

4??2??________．

?15?答案 ?，?

?24?

πωππππ

解析 由0，得＋<ωx＋<ωπ＋，

22444π3π??又y＝sinx的单调递减区间为?2kπ＋，2kπ＋?，k∈Z，

22??

??2＋4≥2＋2kπ，

所以?π3π

ωπ＋≤＋2kπ，??42

ωπππ

k∈Z，

15

解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.

24

5?1?5?15?又由4k＋－?2k＋?≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈?，?.

4?2?4?24?引申探究

π??π??本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos?ωx＋?在?，π?上单调递增，则ω的取值范围

4??2??是_______．

?37?答案 ?，?

?24?

解析 函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，

ωππ??2＋4≥－π＋2kπ，则?π

ωπ＋≤2kπ，??4

k∈Z，

14

51

解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，

24

1?5?1

又由4k－－?2k－?≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，

4?2?4

?37?得k＝1，所以ω∈?，?. ?24?

思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间

求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

?π?跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝2sin?－2x?，则函数f(x)的单调递减区间为

?4?

________________．

3π?π?答案 ?－＋kπ，＋kπ?(k∈Z)

8?8?

π??解析 函数的解析式可化为f(x)＝－2sin?2x－?.

4??

ππππ3π

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

242883π?π?即函数f(x)的单调递减区间为?－＋kπ，＋kπ?(k∈Z)．

8?8?

π?7π???a??(2)(2018·盐城模拟)若函数g(x)＝sin?2x＋?在区间?0，?和?4a，?上均单调递增，则6?6???3??实数a的取值范围是________．

?π7π?答案 ?，?

?624?

πππ

解析 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得

262

kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

ππ??∴g(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

36??7π??a??又∵函数g(x)在区间?0，?和?4a，?上均单调递增，

6??3??

π

3π6

15

≤，36??2π∴?4a≥，

37π?4a

π7π

解得≤a<. 624

三角函数的图象与性质

纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．

例(1)(2018·连云港市灌南华侨高级中学月考)为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则ω的最小值为________． 答案

197

π 2

解析 为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值， 11972π

则49×T≤1，即×≤1.

44ω197197解得ω≥π，所以ω的最小值为π.

22

?π?(2)设函数f(x)＝cos?x＋?，则下列结论正确的是________．(填序号)

3??

①f(x)的一个周期为－2π；

8π

②y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；

3

16