(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象与性质教案(含解析)

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

题型二 三角函数的值域(最值)例1(1)函数y＝2sin?答案 2－3

解析 因为0≤x≤9，所以－

?πx－π?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．

3??6?

ππxπ7π3?πxπ?≤－≤，所以－≤sin?－?≤1，则－3

3?36362?6

≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－3.

(2)函数y＝cos2x＋2cosx的值域是________．

?3?答案 ?－，3?

?2?

1?23?2

解析 y＝cos 2x＋2cos x＝2cosx＋2cos x－1＝2?cos x＋?－，因为cos x∈[－1,1]，

2?2?

?3?所以原式的值域为?－，3?.

?2?

3??π??2

(3)函数f(x)＝sinx＋3cosx－?x∈?0，??的最大值是________．

2??4??答案 1

32

解析 f(x)＝sinx＋3cosx－

432

＝1－cosx＋3cosx－，

4令cosx＝t且t∈[0,1]，

9

13?2?2

则y＝－t＋3t＋＝－?t－?＋1，

42??当t＝

3

时，ymax＝1，即f(x)的最大值是1. 2

思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：

(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．

(2)形如y＝asinx＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．

2

?π??π??1?跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝sin?x＋?，其中x∈?－，a?，若f(x)的值域是?－，1?，

6???3??2?

则实数a的取值范围是______．

?π?答案 ?，π?

?3?

π?π?π?π?解析 ∵x∈?－，a?，∴x＋∈?－，a＋?，

6?6?6?3?π?ππ??1?∵当x＋∈?－，?时，f(x)的值域为?－，1?，

6?62??2?∴由函数的图象(图略)知，π

∴≤a≤π. 3

(2)(2018·苏州质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为__________．

ππ7π≤a＋≤， 266

?1?答案 ?－－2，1?

?2?

1－t解析 设t＝sinx－cosx，则t＝sinx＋cosx－2sinx·cosx，sinxcosx＝，且－2

2

2

2

2

2

≤t≤2.

112

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)＋1，t∈[－2，2]．

222当t＝1时，ymax＝1；

1

当t＝－2时，ymin＝－－2.

2

t2

?1?∴函数的值域为?－－2，1?. ?2?

10

题型三 三角函数的周期性与对称性

π??例2(1)(2019·盐城模拟)已知函数f(x)＝cos?ωx＋?(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝4??________. 答案

π

2

π??解析 f(x)＝cos?ωx＋?(ω>0)， 4??由周期计算公式，可得T＝

2ππ

＝4，解得ω＝. ω2

?π?(2)已知函数f(x)＝sin(ωx－ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f??＝________.

?12?

1答案 2

2π2π

解析 ∵T＝π，∴ω＝＝＝2，

Tπ∴f(x)＝sin(2x－2π)＝sin2x， π1?π?∴f??＝sin＝.

62?12?

(3)(2018·无锡市梅材高中期中)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)，

ω>0,0<φ<π为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为

________． 答案

2

π?π?，则f?－?的值为

2?8?

π??解析 因为函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin?ωx＋φ－?为偶函数，

6??

11

ππ2π

所以φ－＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，可得φ＝，

623π

根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为，

212ππ

可得·＝，所以w＝2，

2w2π??所以f(x)＝2sin?2x＋?＝2cos2x，

2??π?π???π??所以f?－?＝2cos?2×?－??＝2cos＝2.

4?8???8??

思维升华 (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．

2π

②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)

|ω|π

的最小正周期为.

|ω|

π??跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|

?π??x∈R，有f(x)≤f ??成立，则f(x)图象的对称中心是________________．

?3?

2??答案 ?2kπ－π，0?，k∈Z 3??

解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π， 1

得ω＝.

2

?π?因为f(x)≤f ??恒成立， ?3??π?所以f(x)max＝f ??， ?3?

1ππ

即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 232

ππ?1π?又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝sin?x＋?.

3?23?21π2π

令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)， 2332π??故f(x)图象的对称中心为?2kπ－，0?(k∈Z)．

3??

59

(2)若直线x＝π和x＝π是函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ＝

44______________.

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