平面向量学案

第九课时

课程目标 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义． 3．掌握平面向量数量积的性质及运算律． 4．会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题. 1．平面向量的数量积 定义 记法 规定 投影 几何意义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ 零向量与任一向量的数量积为0 |a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积 学习脉络 思考1向量的数量积的运算结果是向量还是实数？如果是向量，如何确定大小和方向？如果是实数，如何确定它的符号？

提示：向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之积．当a，b为非零向量时，由a·b＝|a||b|cosθ，a·b的符号由a与b的夹角θ的余弦值来确定．当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0，当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.

思考2根据投影的定义，如何利用两向量的数量积求向量a在向量b上的投影？ 提示：根据向量数量积的定义可知，向量a在向量b上的投影为|a|cosθ，又a·b＝|a||b|cosθ，所以cosθ＝

a·ba·ba·b，所以向量a在向量b上的投影为|a|cosθ＝|a|×＝.

|a||b||a||b||b|2．运算律

交换律 结合律 分配律 a·b＝b·a (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (a＋b)·c＝a·c＋b·c 思考3平面向量数量积运算适合乘法结合律吗？ 提示：数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．

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3．向量数量积的性质

设a，b为两个非零向量，a与b的夹角为θ.

垂直 同向 反向 绝对值 a·b>0 a⊥b?a·b＝0 a·b＝|a||b| 共线 a·a＝a2＝|a|2，|a|＝a·a a·b＝－|a||b| |a·b|≤|a||b| θ∈?0,θ＝???? ?2?符号 a·b＝0 ? 2a·b<0 θ∈?cosθ＝???,?? 2??夹角公式 a·b |a||b|思考4当两向量的数量积为零时，这两个向量垂直吗？ 提示：不一定垂直．当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直．

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第十课时

课程目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角． 2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系. 平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：

数量积 坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 22|a|＝x1?y1或|a|2＝x1＋y1 22学习脉络 模 ?????设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|PP12|＝?x1?x2?2??y1?y2?2 垂直 夹角 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0 cosθ＝x1x2?y1y2a·b＝ 2222|a||b|x1?y1x2?y2思考1与非零向量a同向的单位向量的坐标如何表示？ 22提示：由于|a|＝x?y≠0，且单位向量a0＝

aa1，所以a0＝＝ (x，

22|a||a|x?y?xy,y)＝??x2?y2x2?y2???，此为与非零向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标． ??x1x2?y1y2x?y2121思考2对任意的向量a与b，向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立吗？ 提示：不一定．当a＝(0,0)时，|a|＝0，此时，cosθ＝无意义，但夹x?y2222角为0°；同时，a·b＝x1x2＋y1y2＝0，但向量a与b不垂直，而是a∥b.故向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立的前提条件是a≠0且b≠0.

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第十一课时

课程目标 1.会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度问题． 2．掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. 1．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．

2．用向量方法解决平面几何问题的三步曲：

第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系．

思考平面几何中常涉及：①求线段的长度或证明线段相等；②证明直线或线段垂直；③线段平行或涉及共线问题；④求夹角问题．对于上述问题，利用向量的方法如何解决？

提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0，且b≠0)，a与b的夹角为θ.

①求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模|a|＝x1?y1； ②证明垂直或涉及垂直问题，常用向量垂直的等价条件：非零向量a⊥b?a·b＝0?x1x2

＋y1y2＝0；

③线段平行或涉及共线问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2

－x2y1＝0；

④求夹角问题，常利用向量的夹角公式： cosθ＝

22学习脉络 x1x2?y1y2a·b＝. 2222|a||b|x1?y1x2?y2特别提醒向量法解决几何问题的两个方向

(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．

(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．

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第十二课时

课程目标 学习脉络 1.体会用向量法解决物理中的力学问题． 2．体会用向量法解决物理中的速度问题. 1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． 2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法． 特别提醒向量在物理中的应用需注意的问题：

学习向量在物理中的应用要注意两个方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．

在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识： (1)力、速度、加速度和位移是向量；

(2)力、速度、加速度和位移的合成与分解就是向量的加减法； (3)动量mv是数乘向量；

(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．

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