平面向量学案

第三课时

课程目标 1.理解相反向量的意义；知道向量减法的定义． 2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量. 1．相反向量 定义 如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量 ①对于相反向量，有a＋(－a)＝0 性质 ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0 ③零向量的相反向量仍是零向量 特别提醒(1)相反向量要从向量的“长度”与“方向”两个方面去理解； (2)相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量． 2．向量的减法 定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 学习脉络 ????????????在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA.如图所示 作法 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 ????????????????思考1若OA＝a，OB＝b，则AB，BA如何用a，b表示？

????????????????????????提示：AB＝OB－OA＝b－a，BA＝OA－OB＝a－b.

思考2若a与b是两个不共线的向量，则|a＋b|和|a－b|的几何意义是什么？

????????提示：如图所示，设OA＝a，OB＝b，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的

????????三角形法则，有OC＝a＋b，BA＝a－b.

????????∵四边形OACB是平行四边形，∴|a＋b|＝|OC|，|a－b|＝|BA|分别是以OA，OB为邻

边的平行四边形的两条对角线的长．

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思考3向量加法与减法的几何表示的区别？

提示：向量的减法是加法的逆运算，求a＋b时，是将b的起点放在向量a的终点，然后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量；求a－b时，是把这两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．

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第四课时

课程目标 1.理解向量数乘的定义及几何意义． 2．掌握向量数乘的运算律，并能用已知向量表示未知向量． 3．掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量共线. 1．向量的数乘 定义 长度 λ>0 方向 λ＝0 λ<0 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa |λa|＝|λ||a| λa的方向与a的方向相同 λa＝0 λa的方向与a的方向相反 学习脉络 思考1向量数乘与原向量有什么样的关系？ 提示：向量数乘与原向量是共线向量． 思考2向量数乘λa的几何意义是什么？

提示：(1)当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长了|λ|倍．

(2)当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短了|λ|倍．

思考3向量

a的大小与方向如何？ |a|a的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量是向量a方向上的单位|a|提示：向量向量．

2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

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特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的“合并同类项”．

3．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 思考4共线向量定理中为何要限制a≠0?

提示：共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立．并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在．

特别提醒(1)如果非零向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0. (2)共线向量定理可以分为两个定理：

判定定理：如果存在一个实数λ满足b＝λa(λ∈R)，那么a∥b. 性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 4．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

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