2017-2018学年高中数学必修四教学案(31份) 北师大版(优秀教案)

[核心必知]

．周期现象

在日常生活、生产实践中存在着大量的周期性变化的现象，如观察钱塘江潮的图片可以看到：波浪每隔一段时间会重复出现，这种现象就称为周期现象．

．角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ．角的分类

按旋转方向可将角分为如下三类： ()正角：按逆时针方向旋转所形成的角； ()负角：按顺时针方向旋转所形成的角；

()零角：如果一条射线从起始位置没有作任何旋转，终止位置与起始位置重合，我们称这样的角为零度角，又称零角，记作α＝°．

．象限角

为了研究问题方便，常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

．终边相同的角

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋×°，∈}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．

[问题思考]

．“东升西落照苍穹，影短影长角不同”是周期现象吗？

提示：这里说的自然现象是指：太阳东升西落，昼夜循环．因此是周期现象． ．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？

提示：不是的．虽然始边与终边确定了，但旋转的方向和旋转的大小并没有确定，所以角也就不能确定．

讲一讲 ．下列说法：

①相差°整数倍的两个角，其终边不一定相同； ②{αα是锐角}{β°≤β<°}； ③小于°的角不一定是锐角； ④锐角都是第一象限的角．

其中，正确的说法是(填上所有正确的序号)． [尝试解答] 选项 ① ② ③ ④ 正误 × √ √ √ 原因 终边相同的两个角一定相差°的整数倍，反之也成立 α是锐角，即°<α<°，故 {α°<α<°}{β°≤β<°} 负角和零角都小于°，但它们都不是锐角 锐角α满足°<α<°，显然是第一象限角 答案：②③④

解决此类问题的关键在于正确理解有关角的概念，还需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真时需要证明，判断命题为假则需举出反例即可．

练一练

．下列命题：①第一象限的角一定为正角；②第一象限的角小于第二象限的角；③相等的角终边一定相同；④若°≤α≤°，则α是第二象限角．其中正确的是．

解析：①°－°＝－°是第一象限的角，但它是负角，因此①是错误的；②由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于°～°间的角，像°是第一象限角，°是第二象限角，显

然°>°，所以②也是错误的；③由于角的顶点是原点，始边与轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，因此③是正确的；④由于°、°都不是象限角，因此④是错误的．

答案：③

讲一讲

．在°～°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． ()－°；()°；()－°′.

[尝试解答] ()因为－°＝－°＋°，

所以在°～°范围内，与－°终边相同的角是°， 而°的终边在第三象限， 所以－°是第三象限角； ()因为°＝°＋°，

所以在°～°范围内，与°终边相同的角是°， 而°的终边在第四象限， 所以°是第四象限角； ()因为－°′＝－×°＋°′，

所以在°～°范围内，与－°′终边相同的角是°′， 而°′的终边在第二象限， 所以－°′是第二象限角．

终边相同的角相差°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要在°～°范围内找与它终边相同的角，即把这个角β写成β＝α＋×°(°≤α<°)(∈)的形式，判断角α是第几象限角即可．

练一练

．已知α＝－ °.

()把α写成β＋×°(∈，°≤β<°)的形式，并指出它是第几象限的角； ()求θ，使θ与α的终边相同，且－°≤θ<°. 解：()－ °＝－×°＋°，其中β＝°， 从而α＝°＋(－)×°，它是第三象限的角． ()令θ＝°＋×°(∈)，

取＝－，－就得到满足－°≤θ<°的角， 即°－°＝－°，°－°＝－°.

所以θ为－°，－°.

讲一讲

．()写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合； ()写出终边落在轴上的角的集合．

[尝试解答]()根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上°的整数倍即可．

所以，第一象限角的集合：

＝{ββ＝×°＋α，°<α<°，∈}， 或＝{β×°<β<×°＋°，∈}． 第二象限角的集合：

＝{ββ＝×°＋α，°<α<°，∈}， 或＝{β×°＋°<β<×°＋°，∈}．

()在°～°范围内，终边在轴上的角有两个，即°与°，因此，所有与°角终边相同的角构成集合

＝{ββ＝×°，∈}，

而所有与°角终边相同的角构成集合 ＝{ββ＝×°＋°，∈}， 于是终边在轴上的角的集合＝∪

＝{ββ＝×°，∈}∪{ββ＝×°＋°，∈} ＝{ββ＝×°，∈}．

终边落在坐标轴上的角不是象限角，称为象限界角．一般地，当角的终边在某具体位置时，先找到终边在此位置的一个角α，再用β＝α＋×°表示后写成集合；当终边在某个范围时，先写出终边在边界位置的角，再用不等式表示此范围内的角，最后用集合表示．

练一练

．写出下面阴影部分角的集合．