广东省广州市2017届高三3月综合测试（一）数学理试题（小题解析） Word版含解析

由（Ⅰ）知平面BAD的法向量n?(0,1,0).……………………………………………9分 设平面ADE的法向量m?(x,y,z)

zA???m?DE?0,??由?得???m?DA?0,???3x?23x?36y?0,2 6z?0.3xBD令x?6，得y??3,z??3, ECy所以m?(6,?3,?3). ………………………………………………10分 所以cos?n,m??1??. ………………………………………………11分

2|n|?|m|1. ……………………………………………12分 2n?m由图可知二面角B?AD?E的平面角为锐角， 所以二面角B?AD?E的余弦值为

法2 ：因为DC⊥平面ABD， 过点E作EF//DC交BD于F， 则EF⊥平面ABD. 因为AD?平面ABD，

所以EF⊥AD. ………………………………………………………………… 9分

过点F作FG⊥AD于G，连接GE，

所以AD⊥平面EFG，因此AD⊥GE.

所以二面角B?AD?E的平面角为?EGF. ………………………………………10分

A由平面几何知识求得

1612，FG?AB?， EF?CD?2222所以EG?GDFBECEF2?FG2?2.

FG1?. ………………………………………………11分 EG21所以二面角B?AD?E的余弦值为. ………………………………………………12分

2所以cos∠EGF=（20）解：

2 (Ⅰ) 法1:由x?4y,得y?1211x,所以y??x. 所以直线PA的斜率为x1. 4221212x1,y2?x2. 44 因为点A?x1,y1?和B?x2,y2?在抛物线C上, 所以y1? 所以直线PA的方程为y?121x1?x1?x?x1?. …………………………………1分 42 因为点P?a,?2?在直线PA上, 所以?2?2121x1?x1?a?x1?,即x12?2ax1?8?0. ………………………………2分 42 同理, x2?2ax2?8?0. …………………………………………3分 所以x1,x2是方程x?2ax?8?0的两个根.

所以x1x2??8. …………………………………………4分 又y1y2?2121212x1?x2??x1x2??4, …………………………………………5分 4416 所以x1x2?y1y2??4为定值. …………………………………………6分 法2:设过点P?a,?2?且与抛物线C相切的切线方程为y?2?k?x?a?, ………………1分

由??y?2?k?x?a?,?x?4y,222消去y得x?4kx?4ka?8?0,

2由??16k?4?4ak?8??0, 化简得k?ak?2?0. ……………………………2分

所以k1k2??2. …………………………………………………………………3分 由x?4y,得y?2121x,所以y??x. 4211x1,直线PB的斜率为k2?x2. 22 所以直线PA的斜率为k1? 所以

1x1x2??2, 即x1x2??8. …………………………………………4分 4 又y1y2?121212x1?x2??x1x2??4, …………………………………………5分 4416 所以x1x2?y1y2??4为定值. …………………………………………6分 (Ⅱ) 法1：直线PA的垂直平分线方程为y? 由于y1?y1?2x?a?2????x?1?, ……………7分 2x1?2?122x1x?8?2ax1, 4,1 所以直线PA的垂直平分线方程为y? 同理直线PB的垂直平分线方程为y?ax1x?a?2????x?1?. ① ……………8分 4x1?2?ax2x?a?2????x?2?. ② ……………9分 4x2?2?a23 由①②解得x?a, y?1?,

22?3a2??. ……………………………………………………10分 所以点M?a,1?22???3a2??,PF???a,3?. 抛物线C的焦点为F?0,1?, 则MF???a,?22??3a23a2??0，……………………………………………………11分 由于MF?PF?22 所以MF?PF.

所以以PM为直径的圆恒过点F. …………………………………………………12分

?3?a2??另法: 以PM为直径的圆的方程为?x?a??x?a???y?2??y?1???0. ……11分

2?2???把点F?0,1?代入上方程,知点F的坐标是方程的解.

所以以PM为直径的圆恒过点F. …………………………………………………12分 法2：设点M的坐标为?m,n?，

则△PAB的外接圆方程为?x?m???y?n???m?a???n?2?， 由于点A?x1,y1?,B?x2,y2?在该圆上， 则?x1?m???y1?n???m?a???n?2?， ?x2?m???y2?n???m?a???n?2?.

两式相减得?x1?x2??x1?x2?2m???y1?y2??y1?y2?2n??0, ① …………7分 由(Ⅰ)知x1?x2?2a,x1x2??8,y1?2222222222221212x1,y2?x2,代入上式得 443 ?x1?x2?4a?4m?a?4a?2an?0, ……………………………………8分

??3 当x1?x2时, 得8a?4m?a?2an?0, ②

假设以PM为直径的圆恒过点F,则MF?PF,即??m,n?1???a,?3??0, 得ma?3?n?1??0, ③ ……………………………………………………9分 由②③解得m?所以点M?31a,n?1?a2, …………………………………………………10分 221??3a,1?a2?. ……………………………………………………11分

2??2当x1?x2时, 则a?0,点M?0,1?.

所以以PM为直径的圆恒过点F. …………………………………………………12分 （21）解:

(Ⅰ)法1: 函数f?x??lnx?a的定义域为?0,???. xa1ax?a由f?x??lnx?, 得f??x???2?2. ……………………………………1分

xxxx 因为a?0,则x??0,a?时,f??x??0;x??a,???时,f??x??0.

所以函数f?x?在?0,a?上单调递减, 在?a,???上单调递增. ………………………2分 当x?a时,??f?x???min?lna?1. …………………………………………………3分

当lna?1?0, 即0?a?1时, 又f?1??ln1?a?a?0, 则函数f?x?有零点. …4分 e所以实数a的取值范围为?0,法2：函数f?x??lnx?由f?x??lnx???1?. ……………………………………………………5分 ?e?a的定义域为?0,???. xa…………………………………………………1分 ?0, 得a??xlnx.

x令g?x???xlnx，则g??x????lnx?1?.

当x??0,?时, g??x??0; 当x??,???时, g??x??0.

??1?e??1?e??所以函数g?x?在?0,?上单调递增, 在?,???上单调递减. ……………………2分

??1?e??1?e??故x?1111?1?时, 函数g?x?取得最大值g????ln?. …………………………3分 eeee?e?1a有零点, 则0?a?. ………………………………………4分

ex??1?. …………………………………………………5分 ?e?因而函数f?x??lnx?所以实数a的取值范围为?0, (Ⅱ) 令h?x??xlnx?a, 则h??x??lnx?1. 当0?x?11时,f??x??0;当x?时,f??x??0. e e

所以函数h?x?在?0,?上单调递减, 在?,???上单调递增. 当x???1?e??1?e??11时, ?hx???a. ………………………………………6分 ?????minee