第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷

总结以上讨论，各时段起讫时刻及uD和uB变化值如下表所示：

1

时 段

0?uD uB

2 II1

T4U2?3T83 III1

3T8?0

4 II2

3T4?7T8U25 I2

7T8U2U2???5T45U45U46 II3

5T4?25T167 III2

25T16?0

8 II4

7T4?2T

I1

T4U2U23T47T40?0??0

0?

5U4?0 0?U

U2

5U4

uDU t0 T 2T ?U

U I1 II1 III1 II2 I2 图4 II3 III2 II4

uB t0 ?U T 2T I1 II1 III1 II2 I2 图5 II3 III2 II4

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评分标准：

本题25分

五、参考解答：

1．题给的磁场B?x,t?随时间和空间的变化具有周期性，在某时刻t，磁场的空间分布为

在t??t时刻，磁场的空间分布为

?????B?x,t??t??B0cos??t??t?kx??Bcos?t?kx??t??0??? ???k????B?x,t??B0cos??t?kx?

比较上面两式，不难看出，t和t??t这两个时刻的磁场的空间分布规律是相同的，只是t时刻原位于

???x??t??处的磁场，经历?t时间，在t??t时刻，出现在x处．即整个磁场的分布经时间间隔?t沿x

k??轴的正方向平移了一段距离

平移速度

v0??x?t?????x?x??x??t?

k???k （1）

平移速度v0为恒量．由此可见，题给出的磁场B?x,t??B0cos??t?kx?可视为一在空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度v0沿x轴的正方向平移．如果金属框移动的速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通将随时间发生变化，从而在金属框中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用．

由题已知，在时刻t，金属框移动的速度为v，金属框MN边位于坐标x处，PQ边位于坐标x?d处．设此时金属框的磁通为?（规定由纸内到纸外?为正）；经过一很短的时间间隔?t，整个磁场分布区域向x方向移动了一段距离v0?t，金属框向x方向移动了一段距离v?t，其结果是：MN边左侧穿过面积为

?v0lt?v?l?t的磁通B?x,t??v0?v??移进了金属框，PQ边左侧穿过面积为?v0?v?l?t的磁通

t??t时刻，通过金属框的磁通为 B?x?d,?t?v0?v?l?移出了金属框，故在t

?????B?x,t??v0?v?l?t?B?x?d,t??v0?v?l?t

在?t时间间隔内，通过金属框的磁通增量为

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??????????B?x,t??B?x?d,t???l?v0?v??t

（2）

规定框内的感应电动势E?t?沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向)为正，由电磁感应定律，可得t时刻的感应电动势

E?t?????t （3）

规定金属框内的感应电流i?t?沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向)为正，可得t时刻的感应电流为

i?t??ER (4)

磁场对于上下两边NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力为零．规定向右的力为正，则磁场作用于金属框MN边的安培力为i?t?B?x,t?l；由于PQ边和MN边的电流方向相反，磁场作用于金属框PQ边的安培力为 ?i?t?B?x?d,t?l，故金属框的安培力的合力

f?t??i?t?B?x,t?l?i?t?B?x?d,t?l

（5）

由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式及题给定的磁场分布规律，得

?22??B0l??v??k?f?t??cos??t?kx??cos????t?kx??kd??R

利用三角学公式，得

??2 （6）

?22??4B0l??v??2??t?kx??kd?kd??k?2?kd?22?f?t??sin?sin ???F0sin???t?kx????R22??2????（7）

?22??4B0l??v??k?2?kd?F0?sin??

R2??F0称为安培力f?t?的幅度．从（7）式可以看出，安培力f?t?在F0的幅度内随时间变化，但其值不会

小于零，表示磁场作用于金属框的安培力始终向右．

2．讨论安培力的大小与线框几何尺寸的关系就是讨论F0与线框几何尺寸的关系．F0与金属框长度l的平方成正比，与金属框的宽度d有关：

当kd?2nπ， 即 得

d?2nπk n?0,1,2,?

（8）

F0?0 19

（9）

当kd??2n?1?π，即

F0达最大值

d??2n?1?πk n?0,1,2,? （10）

?22??4B0l??v??k? ?R

F0?max?（11）

当d取其它值时，F0介于0与最大值F0?max?之间．

评分标准：

本题25分．

六、参考解答：

1． 圆筒内光学元件的相对位置如图1所示．各元件的作用如下：

狭缝 圆筒轴 S L1 图1

L2 P L3 狭缝S：光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像．

透镜L1：与狭缝的距离为f1，使由狭缝射来的光束经L1后成为与圆筒轴平行的平行光束． 分光棱镜：使由L1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束． 透镜L2：使各种单色平行光束经L2 成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线）． 观察屏P：位于L2焦平面上，光源的谱线即在此屏上．

透镜L3：与P的距离?f3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）．

2．已知钠黄光的谱线位于P的中央，S的像位于L2 的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间棱镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路图如图2所示，左半部的光路如图3．用i1、r1、i2、r2分别表示两次折射时的入射角和折射角，用n1、n2分别表示两块棱镜对D线的折

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