江苏省南京市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析

所以

128t?，即t2?16，又x，y，z＞0，所以x?y?z?t＝1． 147【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.

19．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AB?BB1，AC?BC?BB1，D为AB的中点，且

CD?DA1.

（1）求证：BB1?平面ABC； （2）求锐二面角C?DA1?C1的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】

（1）证明CD?AB后可得CD?平面BB1A1A，从而得CD?BB1，结合已知得线面垂直；

（2）以C为坐标原点，以CB为x轴，CC1为y轴，CA为z建立空间直角坐标系，设CC1?2，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值． 【详解】

（1）证明：因为AC?BC，D为BC中点， 所以CD?AB，又CD?DA1，ABIA1D?D， 所以CD?平面AA1B1B，又BB1?平面AA1B1B， 所以CD?B1B，又B1B?AB，ABICD?D， 所以B1B?平面ABC.

（2）由已知及（1）可知CB，CC1，CA两两垂直，所以以C为坐标原点，以CB为x轴，CC1为y轴，

15. 5CA为z建立空间直角坐标系，设CC1?2，则

C?0,0,0?，B?2,0,0?，A?0,0,2?，C1?0,2,0?，A1?0,2,2?，D?1,0,1?. ur设平面DCA1的法向量n1??x1,y1,z1?，则

uvuuuvur??x1?z1?0n?CD?0?1uvuuuvz??1，即?，令1，则n1??1,1,?1?； ?2y?2z?0n?CA?0?1?11?1uur设平面DC1A1的法向量n2??x2,y2,z2?，则

uuvuuuuvuur??x2?2y2?z2?0?n2?C1D?0vuuuuv，即?，令y2?1，则n2??2,1,0?， ?uu2z?0n?CA?0??2?211uruururuurn1?n2315cosn,n???uruur. 所以1253?5n1n2故锐二面角C?DA1?C1的余弦值为【点睛】

本题考查证明线面垂直，解题时注意 线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．

15. 5x2y2220．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半

ab2径的圆与直线x?y?2?0相切． （1）求椭圆的标准方程；

uuuruuur5

（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为(,0)，求QA?QB的值．

4

7x2【答案】（1）?y2?1；（2）?．

216【解析】 【分析】

（1）根据椭圆的离心率为22，得到c?a，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于

22半径，得到a?2，从而求得b?1，进而求得椭圆的方程；

（2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果. 【详解】 （1）由离心率为

c22，可得e??，

a22?c?2222a，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为x?y?a， 2因与直线x?y?2?0相切，则有2?a，即a?2，c?1，?b?1， 2x2故而椭圆方程为?y2?1．

2??2?2?（2）①当直线l的斜率不存在时，A??1,?2??， ?1,2??，B??????52??52?71?,?1?,???由于?； ????42??4?216????②当直线l的斜率为0时，A则?2??2,0，B?2,0，

?????5??5?7,0????2?,0???； 4??4?16③当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x?ty?1，A?x1,y1?，B?x2,y2?，

x2由x?ty?1及?y2?1，

2得t?2y?2ty?1?0，有???，∴y1?y2???2?212tyy??，， 12t2?2t2?2Qx1?ty1?1，x2?ty2?1，

∴?x1???551??1?11????,y1???x2?,y2???ty1???ty2???y1y2?t2?1?y1y2?t?y1?y2??444??4?416??????112t1?2t2?2?t217??t?12?t?2?????，

t?24t?21616162t2?2?2???综上所述：QA?QB??【点睛】

uuuvuuuv7． 16该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目. 21．如图，已知椭圆

两点，点

上到下依次排列)

，为其右焦点，直线在上，且满足

与椭圆交于

.(点

从

(I)试用表示：

(II)证明：原点到直线l的距离为定值.

【答案】 (I) 【解析】 【分析】

；(II)证明见解析

(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案. (II) 设

，

，联立方程得到

，

，代入化简

得到【详解】 (I) 椭圆

，计算得到证明.

，故，

.

(II)设，，则将代入得到：

，故，

，

，故，得到，

，故，同理：，

由已知得：或，