江苏省南京市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析

直线l:y?kx?4k过抛物线C的焦点F?4,0?，p?8，过A，B分别作C的准线的垂线，垂足分别为P，

Q，由抛物线的定义知AP?AF，|BQ|?|BF|．

因为AP//MF//BQ，所以

|PM||AF||AP|??．因为?APM??BQM?90?，

|QM||BF||BQ||AM||AP||AF|???4．

|BM||BQ||BF|所以?APM:?BQM，从而

设直线l的倾斜角为?，不妨设0????2 ，如图，则AF?AP?MF?AFcos??p?AFcos?，

pp，同理BF?，

1?cos?1?cos?p|AF|1?cos?1?cos????4， 则

p|BF|1?cos?1?cos?AF?解得cos??433，k?tan??，由对称性还有k??满足题意． 5434． 3，综上，k??

【点睛】

本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．

16．如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，?CAB?90?，AC?AB?2，CC1?2，P是BC1的中点，则

三棱锥C?A1C1P的体积为________.

【答案】【解析】 【分析】

2 3证明AB?平面AAC11C，于是VC?A1C1P?VP?A1C1C?【详解】

1VB?A1C1C，利用三棱锥的体积公式即可求解. 2QAA1?平面ABC，ABì平面ABC，

?AA1?AB，又AB?AC,AA1?AC?A.

?AB?平面AAC11C， QP是BC1的中点，

11112?VC?A1C1P?VP?A1C1C?VB?A1C1C????2?2?2?.

223232故答案为：

3【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥P?ABCD中，侧棱PA?底面ABCD，AD//BC，AD?1，PA?AB?BC?2，

M是棱PB的中点.

（1）求证：AM//平面PCD；

（2）若?ABC?90o，点N是线段CD上一点，且DN?弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】

1DC，求直线MN与平面PCD所成角的正339 13（1）PC的中点E，连接ED，ME，证明四边形ADEM是平行四边形可得AM//DE，故而AM//平面PCD；

（2）以A为原点建立空间坐标系，求出平面PCD的法向量m，计算MN与m的夹角的余弦值得出答案．【详解】

（1）证明：取PC的中点E，连接ED，ME，

ruuuurrQM，E分别是PB，PC的中点，

?ME//BC，ME?1BC， 21BC， 2又AD//BC，AD??AD//ME，AD?ME，

?四边形ADEM是平行四边形，?DE//AM，

又DE?平面PCD，AM?平面PCD，

?AM//平面PCD．

（2）解：Q?ABC?90?，?AB?BC， 又AD//BC，故AD?AB，

以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A?xyz， 则A(0，0，0)，D(1，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，

QM是PB的中点，N是DC的三等分点，

24?M(0，1，1)，N(，，0)，

33uuuuruuuruuur14?MN?(，?，?1)，PD?(1，0，?2)，PC?(2，2，?2)，

33uuuvv?m·urPC?0?2x?2y?2z?0v设平面PCD的法向量为m?(x，y，z)，则?vuuu，即?， PD?0?x?2z?0?m·ur令x?2可得m?(2，?1，1)，

22uuuurur4uuuur?1?41????MNgm??2???????1??1???1??2，MN??????????1?2?26

3?3?3?3??3?ur2m?22???1??12?6

uuuururuuuururMNgmrur??cos?MN,m??uuuu|MN||m|226?63?3913，

?直线MN与平面PCD所成角的正弦值为39．

13

【点睛】

本题考查了线面平行的判定，空间向量与直线与平面所成角的计算，属于中档题．

8x2y218．已知正数x，y，z满足x?y?z?t（t为常数），且??z2的最小值为，求实数t的值.

749【答案】t＝1 【解析】 【分析】

x2y2x212y29292122把??z变形为?t??t?z2?t?t结合基本不等式进行求解.

49449919619614【详解】

x2y2x212y29292122因为??z??t??t?z2?t?t

4944991961961411?t(x?y?z)?t2 71412291x2y22?tx?ty?tz?t时，上述等号成立， 即，当且仅当，，??z147141449