2014-2015学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（文科） Word版含解析

解答： 解：设x＜0，则﹣x＞0，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x﹣4x（x＞0），

2

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣=﹣x﹣4x， 则f（x）=

，

2

∵f（x）＞x，∴或，

解得﹣5＜x＜0或x＞5，

∴不等式的解集是（﹣5，0）∪（5，+∞）， 故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）． 点评： 本题考查函数的奇偶性的应用：求函数的解析式，一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想，属于中档题．

12． （2015春?扬州校级期中）下列命题正确的序号是 ①③ ab

①命题“若a＞b，则2＞2”的否命题是真命题； ②若命题p：“

＞0”，则；￢p：“

≤0”；

③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件； ④方程ax+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： ①根据指数函数的性质判断即可；②写出p的否命题即可；③根据充分必要条件的定义判断即可；④通过讨论a=0，a≠0判断即可．

解答： 解：①命题“若a＞b，则2＞2”的否命题是：“若a≤b，则2≤2”是真命题，故①正确；

②若命题p：“

＞0”，则；￢p：“

＜0”，故②错误；

a

b

a

b

2

③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件，故③正确；

④方程ax+x+a=0，当a=0时，方程也有唯一解，故④错误； 故答案为：①③． 点评： 本题考查了充分必要条件，考查命题之间的关系，考查方程思想，本题综合性强，属于中档题．

432

13． （2015春?扬州校级期中）已知函数f（x）=a0x+a1x+a2x+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R，且a0≠0）的四个零点构成公差为d的等差数列，则f′（x）的所有零点中最大值与最小值之差为 |d| ． 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 先设出函数f（x）的4个零点，求出f（x）的导数，得到f′（x）的零点，从而求出答案．

解答： 解：设函数f（x）的四个零点构成公差为d的等差数列为： t+3，t+1，t﹣1，t﹣3，公差d=2， f（x）=（x﹣t﹣3）（x﹣t﹣1）（x﹣t+1）（x﹣t+3），

2

用平方差公式： f（x）=，

22

令g（x）=（x﹣t）﹣1，h（x）=（x﹣t）﹣9， f′（x）=g′（x）h（x）+g（x）h′（x），

22

整理得：f′（x）=4（x﹣t）（x﹣2tx+t﹣5）， 令f′（x）=0，解得：x=t﹣，t，t+，

∴零点的最大值与最小值的差是；2=|d|， 故答案为：|d|． 点评： 本题考查了函数零点问题，等差数列，导数的应用，是一道中档题．

14． （2015春?扬州校级期中）已知λ（x）=ax+x﹣ax（a≠0），若存在实数a∈（﹣∞，﹣]，使得函数μ（x）=λ（x）+λ′（x），x∈在x=﹣1处取得最小值，则实数b的最大值为 ． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用；不等式的解法及应用．

32

分析： 由μ（x）=ax+（3a+1）x+（2﹣a）x﹣a，知μ（x）≥μ（﹣1）在区间上恒成立，令?（x）=ax+（2a+1）x+（1﹣3a），由a∈（﹣∞，﹣]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得，从而可得?（b）≥0，由此能求出b的最大值．

322

解答： 解：由题意，λ（x）=ax+x﹣ax的导数λ′（x）=3ax+2x﹣a，

32

μ（x）=ax+（3a+1）x+（2﹣a）x﹣a， 据题知，μ（x）≥μ（﹣1）在区间上恒成立，

2

即：（x+1）（ax+（2a+1）x+（1﹣3a））≥0…① 当x=﹣1时，不等式①成立；

当﹣1＜x≤b时，不等式①可化为ax+（2a+1）x+（1﹣3a）≥0…②

2

令?（x）=ax+（2a+1）x+（1﹣3a）， 由a∈（﹣∞，﹣]知其图象是开口向下的抛物线， 故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得． 又?（﹣）=﹣

a＞0，故不等式②成立的充要条件是?（b）≥0，

2

2

3

2

整理得：≤﹣在a∈（﹣∞，﹣]上有解，

∴≤2，

解得﹣1＜b≤． b的最大值为． 故答案为：． 点评： 本题考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解，属于中档题． 二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15． （2015春?扬州校级期中）记函数f（x）=

（x）=lg（a＜1）的定义域为B （1）求A、B；

（2）若B?A，求实数a的取值范围． 考点： 集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法． 专题： 集合． 分析： （1）要使函数f（x）=

的定义域为A，函数g

有意义，则（x+1）（x﹣1）≥0，解出即

可．要使函数g（x）=lg（a＜1）有意义，则（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，解出即可． （2）由B?A，可得2a≥1或a+1≤﹣1，解出即可．

解答： 解：（1）由题意得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪∪

．

点评： 本题考查了根式函数与对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16． （2010?兴化市校级模拟）设命题p：函数f（x）=lg

命题q：不等式3﹣9＜a对一切正实数x均成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；

（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围． 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 综合题． 分析： （1）由题意，若p是真命题，则出p是真命题时，实数a的取值范围．

（2）若命题q为真命题时，则3﹣9＜a对一切正实数x均成立．由

∈（﹣∞，0），

x

x

x

x

的定义域是R；

对任意实数都成立，由此能够求

知q是真命题时，a≥0．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知求出实数a的取值范围． 解答： 解：（1）由题意，若p是真命题， 则

对任意实数都成立，

或，能

若a=0，显然不成立； 若a≠0，解得a＞2

故如果p是真命题时，

实数a的取值范围是（2，+∞） （2）若命题q为真命题时，

xx

则3﹣9＜a对一切正实数x均成立．

∵x＞0

∴3＞1 xx

∴3﹣9∈（﹣∞，0）

所以如果q是真命题时，a≥0．

又p或q为真命题，命题p且q为假命题 所以命题p与q一真一假 ∴

或

x

解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值范围是 点评： 本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用．

17． （2015春?扬州校级期中）如图，有一块四边形BCED绿化区域，其中∠C=∠D=90°，

，CE=DE=1，现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四

边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y．

（1）求x，y的关系式； （2）求水管PQ的长的最小值．

考点： 解三角形的实际应用．

分析： （1）延长BD、CE交于A，利用S△ADE=S△BDE=S△BCE=

，S△APQ=

可建立x，

y的关系式；

（2）利用余弦定理表示出PQ，再借助于基本不等式求出水管PQ的长的最小值． 解答： 解：（1）延长BD、CE交于A，则AD=∵S△APQ=

，∴

?

，即

．

，

，

，AE=2 则S△ADE=S△BDE=S△BCE=

∴x，y的关系式为：

222

（2）PQ=AP+AQ﹣2AP?AQcos30° =当

∴水管PQ的长的最小值为

点评： 本题主要考查变量关系，考查余弦定理及基本不等式的运用，有一定的综合性． 18．（16分）（2015春?扬州校级期中）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意的实数x，有f（x+T）=Tf（x）成立．

2

（1）证明：f（x）=x不属于集合M；

（2）设f（x）∈M，且T=2．已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）的解析式．