2015年湖南省中学数学教师解题比赛试题和答案

2015年湖南省中学数学教师解题比赛

高中组初赛试卷

(考试时间：2015年10月24日9:00-11:00)

说明：

1. 请用蓝色、黑色或蓝黑色钢笔或签字笔作答；

2. 答案请写在本试卷相应位置，试卷范围以外作答无效；

一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分）

1. 如果将整数集Z中所有被3除所得余数为k?k?0,1,2?的整数构成的集合称为一个“类”，并记为?k?，则下列结论中错误的是 （ ） A.2015??2? B.Z??0???1???2? C.“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a?b??0?”

D．“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a?b??0?”

解：选C（提示：对于A选项，由于2015被3除余2，所以2015??2?；对于B选项，任何一个正整数被3除的余数只可能是0,1,2，所以Z??0???1???2?；对于C选项，因为a,b属于同一‘类’，不妨设a?2,b?5则a?b?7，而7??1???0?，所以C错；对于D选项，因为a,b属于同一‘类’，可设a?3k1?r,b?3k2?r（其中r?0,1,2），则a?b?3(k1?k2)??0?）. 2. 在?ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且cos2B?3cos?A?C??2?0，

b?3.那么，?ABC周长的最大值是 （ ）

A.3 B.23 C.33 D.43 解：C（提示：由已知cos2B?3cos?A?C??2?0得2cos2B?3cosB?1?0， 1?即(2cosB?1)(cosB?1)?0，则cosB?或cosB?1(舍)，所以?B?.由正弦定理得

232?abc?A). ???2，则a?2sinA,C?2sinC?2sin(3sinAsinBsinC2??所以a?b?c?3?2sinA?2sin(?A)?3?23sin(A?)）

36 3. 若已知?sin??icos???sinn??icosn?,则由棣莫佛定理可知满足1?n?1024n的n的个数为 ( )

A.128 B.256 C.512 D.1024 解：选B（提示：由棣莫佛定理可得：

?sin??icos??n??????cos(??)?isin(??)?

22??n?n??n?)?isin(?n?). ① 22n ?cos(又sinn??icosn??cos(由①②得

?2?n?)?isin(?2?n?) ②

n???n??2k??(?n?)(k?Z)解得n?4k?1.又因为1?n?1024，n?N, 223所以0?k?255，故满足条件的共有256个）.

4 4. 已知四面体有两个面为正三角形，因而有5条棱长相等，设第6条棱的长为x，则体积V(x) （ ）

A. 是增函数但无最大值 B. 是增函数且有最大值 C. 不是增函数且无最大值 D. 不是增函数但有最大值

解：D（提示：不妨设AB?BC?CD?BD?AC?1，设AD?x；，取BC，AD的中点分别为E，F，可知平面AED垂直BC；由

?3??x?2112， S?AED?AD?EF,EF????3?x?????22?2??2?11x3?x2， 得三棱锥体积V?x???S?AED?BC?31222x?3?x???1，知函数y?f(x)在其定义域不是增函11由V?x??x3?x2??1212281数但有最大值．故选D.）

8n 5. 对所有满足1?n?m?5的m,n，极坐标方程???Cmcos??1表示的不同双曲线条

2数为 （ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 解：选A（提示：当m?n时，??1n表示的是抛物线.当m?n时，令e?Cm?1，n1?Cmcos?14121323注意到C5，所以离心率e>1的取值共有10?4?6个还不同?C5,C3?C3,C4?C4,C5?C5的值.）

???ABABAC1AC?BC??，?6. 已知非零向量AB,AC满足?则?A??BC?0且2AC?ABAC?AB??为 （ ）

A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形

C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形

???ABAC??解：选D（提示：由于所在直线穿过?ABC的内心，则由????BC?0AC?ABAC?AB??ABAC知AB?AC. 又由ABAB?ACAC?1,知?A?60?，则?ABC为等边三角形 .） 2 7. 已知a,b,c,d均为正数，且M?abcd，则M的取???a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b值范围为 （ ）

?534??4??4?2? B. ?1，? C. ?1，2? D. ?，? A.?，?3??3??403?解：选C（提示：由

abcdabcd????????1a?b?cb?c?dc?d?ad?a?ba?b?c?da?b?c?da?b?c?da?b?c?dabcdabcd????????2

a?b?cb?c?dc?d?ad?a?ba?cb?da?cb?d则1?M?2.）

8. 华夏文化认为宇宙万事万物皆由阴阳或五行和合而成.和，指和谐、和平、详和；合，指结合、融合、合作.中华“和合”文化源远流长.作为文化重要组成部分的数学最讲“和合”.

在数集的扩充的过程中，每一次扩充后同样适用于原来的数集，表现为高度“和合”的是 （ ） A. 大小关系 B. 运算法则 C. 几何意义 D.封闭性质

解:选B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

?x?y?z? 值为 . 111 9. 已知实数x,y,z满足???0，则2xyzx?y2?z22解:填1(提示:由

111???0，有xy?xz?yz xyzx2?y2?z2?2(xy?yz?zx)??1.) 从而222222x?y?zx?y?z

10. 已知三角形三边所在的直线方程是：

?x?y?z?2l1：y?0； l2：x?2y?1?0；

l3：x?y?1?0.

过三角形三顶点、对称轴为坐标轴的抛物线方程是 . 解：填y?121x?(提示:由题意知三角形的三顶点即为 44y?0???x?2y?1?0?y?0?x?2y?1?0 ??x?y?1?0x?y?1?0??0),C(3，2).又由抛物线关于坐标轴对称三个方程组的解,所以抛物线上三点分别为A(?1,0),B(1，2)代入得a?知对称轴为y轴，故可设抛物线方程为y?a(x?1)(x?1).把C(3，1，所以4y?121x?.) 44 11. 如图所示，作一个边长为1的正三角形ABC， 且AB与x轴的夹角为5?，易知AB?BC?CA?0. 令x轴上的单位向量为i，则有

i?AB?BC?CA?cos5??cos125??cos245??0.

C ??A B x 仿照以上方法,推广以上结论可得cosa1?cosa2?????cosan?0,若a1??,则an? .

解：??2(n?1)?(提示:做一个首尾连接而成的正n边形，取x轴上的单位向量为i， n2?2(n?1)?)?????cos(??)?0, nn则i(A1A2?A2A3??An?1An?AnA1)?0,即cos??cos(??所以an???2(n?1)?.) n 12. 已知ax?bx?cx(c?a,c?b)，以a,b,c为边长构成一个钝角三角形，则x的取值范围为 .

ab解：填1?x?2(提示:由题设ax?bx?cx，c?a,c?b知()x?()x?1.由于构成钝角三

cca2?b2?c2ababab角形故有cosC?0,即cosC??0，即()2?()2?1?()x?()x,由于?1,?1cccccc2ababab因此有x?2.另一方面，由于c?a?b知??1?()x?()x，同理得x?1.综上x的范围为

cccc1?x?2.)

13. 已知数列?an?是公差d?0的等差数列，则函数f(x)??x?ai的最小值

i?119为 .(用含有d的式子表示)

解：填90d(提示:易知当x?a10时f(x)??x?ai有最小值，

i?119fmin(x)?a10?a1?a10?a2?a10?a3??a10?a9?a10?a10?a10?a11??a10?a19