常微分习题答案

13由 dyy3dx?32有：y=（x+c）2

3又 因为y(0)=0 所以：y=x2 另外 y=0也是方程的解；

?3故 方程的解为：y=??x2x?0

??0x?0或 y=0;

6题 证明格朗瓦耳不等式：

设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间??t??上的连续非负函数，且满足不等式：

t f(t)?k+?f(s)g(s)ds,??t??

?t 则有：f(t)?kexp(?g(s)ds),??t??

?t证明：令R（t）=?f(s)g(s)ds,则R'(T)=f(

?R'(T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t)

?kg(t)R'(T)- R(t)g(t)?kg(t);

t两边同乘以exp(-?g(s)ds) 则有：

?ttR'(T) exp(-?g(s)ds)-R(t)g(t) exp(-?g(s)ds)

??t? kg(t) exp(-?g(s)ds)

?两边从?到t积分：

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tttR(t) exp(-?g(s)ds)?-?kg(s)dsexp(-?g(r)dr)ds

???tt即 R(t) ??kg(s)ds exp(-?g(r)dr)ds

?stt又 f(t) ?1?k+R(t) ?k+k?g(s)exp(-?g(r)dr)ds

?sts ?k(1-1+ exp(-?g(r)dr)=k exp(?g(r)dr)

stt即 f(t) ?k?g(r)dr;

?7题 假设函数f(x,y)于（x0,y0）的领域内是y的 不增函数，试证方程

dydx= f(x,y)满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解；证明：假设满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧有两个?(x),?(x) 则满足：

x ?(x)= y0+?f(x,?(x))dx

x0x ?(x)= y0+?f(x,?(x))dx

x0 不妨假设?(x)??(x)，则?(x)- ?(x)?0

xx而?(x)- ?(x)= ?f(x,?(x))dx-?f(x,?(x))dx

x0x0x =?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx

x0又因为 f(x,y)在（x0,y0）的领域内是y的 增函数，则： f(x, ?(x))-f(x, ?(x))?0

x则?(x)- ?(x)= ?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx?0

x0则?(x)- ?(x)?0

所以 ?(x)- ?(x)=0， 即 ?(x)= ?(x)

则原命题方程满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多 只有一个解；

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