2019年高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和学案理北师大版20180413497

＝100.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝1

anan＋1

，求数列{bn}的前n项和.

【导学号：79140181】

2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20，??

[解] (1)由已知得?10×9

10ad＝10a1＋45d＝100，1＋?2?解得?

?a1＝1，???d＝2，

所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 1?11?1

－(2)bn＝＝??，

(2n－1)(2n＋1)2?2n－12n＋1?11?1?111

－所以Tn＝?1－＋－＋…＋? 2n－12n＋1?2?3351?1?n＝?1－＝. ?2n＋1?2n＋12?

错位相减法求和 (2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列??的

?an??bn?

前n项和Tn.

[解] (1)设{an}的公比为q， 由题意知a1(1＋q)＝6，a1q＝a1q，

又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2.

(2n＋1)(b1＋b2n＋1)(2)由题意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，

2又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1.

n2

2

bn2n＋1令cn＝，则cn＝n. an2

因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn

5

3572n－12n＋1＝＋2＋3＋…＋n－1＋n， 2222213572n－12n＋1又Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋n＋1， 222222两式相减得

1?2n＋113?11

Tn＝＋?＋2＋…＋n－1?－n＋1，

2?222?222n＋5

所以Tn＝5－n. 2 [规律方法] 错位相减法求和的适用范围 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和. 错位相减法求和的注意事项 ①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. ②在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. [跟踪训练] (2018·石家庄质检(二))已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N＋).

【导学号：79140182】

(1)求m的值；

(2)若数列{bn}满足＝log2bn(n∈N＋)，求数列{(an＋6)·bn}的前n项和．

2[解] (1)由已知得am＝Sm－Sm－1＝4， 且am＋1＋am＋2＝Sm＋2－Sm＝14，

设数列{an}的公差为d，则2am＋3d＝14， ∴d＝2.

由Sm＝0，得ma1＋anm(m－1)

2

×2＝0，即a1＝1－m，

∴am＝a1＋(m－1)×2＝m－1＝4， ∴m＝5.

(2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴an＝2n－6， ∴n－3＝log2bn，得bn＝2∴(an＋6)·bn＝2n×2

n－3

n－3

.

n－2

＝n×2.

设数列{(an＋6)·bn}的前n项和为Tn， ∴Tn＝1×2＋2×2＋…＋(n－1)×2

－1

0

n－3

＋n×2

n－2

， ①

6

2Tn＝1×2＋2×2＋…＋(n－1)×2①－②，得－Tn＝2＋2＋…＋22(1－2)n－1＝－n×2

1－2＝2

n－1－1

－1

0

01n－2

＋n×2

n－1

， ②

n－2

－n×2

n－1

n1n－1

－－n×2， 2

n－1

∴Tn＝(n－1)·2

1

＋(n∈N＋)． 2

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