2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题七数学思想方法第1讲函数与方程思想数形结合思想练习文

专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习

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一、填空题

1.直线3x－y＋m＝0与圆x＋y－2x－2＝0相切，则实数m＝________. 解析 圆的方程(x－1)＋y＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径?＋m|＝23?m＝3或m＝－33. 答案 －33或3

2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x解的个数是________.

解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数. 又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点.

2

2

22

2

|3＋m|

＝3?|33＋1

答案 9

3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________.

解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x， 得F(x)在R上是增函数.

又F(－1)＝f(－1)－23(－1)＝4，f(x)＞2x＋4， 即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1. 答案 (－1，＋∞)

4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)2(b－c)＝0，则|c|的最大值是________.

→→→→→→解析 如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则CA＝a－c，CB＝b－c.由题意知CA→⊥CB，

∴O，A，C，B四点共圆.

→

∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC|＝2. 答案

2

1

5.已知函数f(x)＝x－2ax－3在区间[1，2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________.

解析 函数f(x)＝x－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示.由图象可知函数在(－∞，a]和[a，

＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1，2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞). 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)

6.(20152全国Ⅱ卷改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， △ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________.

2

2

x2y2

解析 如图，设双曲线E的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则AB＝2a，

ab由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，

∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°， ∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°，

∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin 60°＝3a，x1＝OB＋BN＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(2a，

x2y2c22

3a)的坐标代入2－2＝1，可得a＝b，∴e＝＝aba答案

2

a2＋b2＝2. a2

7.已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|＝2，b2e1＝1，b2e2＝1，则对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|的最小值为________.

解析 |b－(xe1＋ye2)|＝b＋xe1＋ye2－2xb2e1－2yb2e2＋2xye12e2＝4＋x＋y－2x－2y＝(x－1)＋(y－1)＋2≥2，

当且仅当x＝1，y＝1时，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值2，此时|b－(xe1＋ye2)|取得最小值2. 答案

2

2

2

2

2

2

2

22

2

22

22

2

2

8.设直线l与抛物线y＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)＋y＝r(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________. 解析 设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把直线l的方程代入抛物线方程y＝4x并整理得y－4ty－4m＝0，

则Δ＝16t＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t＋2m，则线段AB的中点M(2t＋m，2t).

由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C(5，0). 当t≠0时，有kMC2kAB＝－1，

2

2

2

2

2

2

2t－012

即22＝－1，整理得m＝3－2t， 2t＋m－5t把m＝3－2t代入Δ＝16t＋16m＞0， 可得3－t＞0，即0＜t＜3.

由于圆心C到直线AB的距离等于半径， 即d＝

|5－m|1＋t22

2

2

2

＝2＋2t22

1＋t＝21＋t＝r，

2所以2＜r＜4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条. 当t＝0时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0＜r＜5. 综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r＜4. 答案 (2，4) 二、解答题

9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项an；

(2)求{an}前n项和Sn的最大值.

解 (1)设{an}的公差为d，由已知条件，

??a1＋d＝1，?解得a1＝3，d＝－2. ?a1＋4d＝－5，?

所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋

n（n－1）

d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.

2

所以n＝2时，Sn取到最大值4.

10.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为→→

轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB. (1)求椭圆C的方程； (2)求m的取值范围.

2

，直线l与y2

y2x2

解 (1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，设c＞0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝2，

abc2＝， a2

所以a＝1，b＝c＝2. 2

2

故椭圆C的方程为y＋＝1.即y＋2x＝1.

12

3

x2

22

1

(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m＝±；

2当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?y＝kx＋m，?222由?22得(k＋2)x＋2kmx＋m－1＝0， ??2x＋y＝1，

Δ＝(2km)－4(k＋2)(m－1) ＝4(k－2m＋2)＞0，(*)

－2kmm－1解上述方程后易得：x1＋x2＝2，x1x2＝2. k＋2k＋2→→

因为AP＝3 PB，所以－x1＝3x2.

??x1＋x2＝－2x2，所以? 2

?x1x2＝－3x2.?

2

2

2

222

所以3(x1＋x2)＋4x1x2＝0.

2

?－2km?＋42m－1＝0. 所以32?2?k2＋2?k＋2?

整理得4km＋2m－k－2＝0， 即k(4m－1)＋(2m－2)＝0.

112－2m22

当m＝时，上式不成立；当m≠时，k＝2，

444m－1

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

由(*)式，得k＞2m－2， 2－2m又k≠0，所以k＝2＞0.

4m－1

2

2

22

11

解得－1＜m＜－或＜m＜1.

22

1??1??综上，所求m的取值范围为?－1，－?∪?，1?. 2??2??

11.设函数f(x)＝ax－3ax，g(x)＝bx－ln x(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.

(1)求b的值； (2)若函数F(x)＝?围.

解 函数g(x)＝bx－ln x的定义域为(0，＋∞)， (1)f′(x)＝3ax－3a?f′(1)＝0，

2

23

2

?f（x），x≤0，?

且方程F(x)＝a有且仅有四个解，求实数a的取值范

?g（x），x＞0，?

2

4

g′(x)＝2bx－?g′(1)＝2b－1，

x1

依题意得2b－1＝0，所以b＝.

21

(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－＜0，

1

x即g(x)在(0，1)上单调递减，

x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递

x1

增，所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；

2当a＝0时，方程F(x)＝a不可能有四个解；

当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，

即f(x)在(－1，0)上单调递增，

所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a， 又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F(x)＝a不可能有四个解. 当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0， 即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，

22

1

x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，

即f(x)在(－1，0)上单调递减，

所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a. 又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所求，

122

从图(2)看出，若方程F(x)＝a有四个解，则＜a＜2a，

2得

2

＜a＜2， 2

所以，实数a的取值范围是?

?2?

，2?. ?2?

5