安徽省江南十校2016届高三（上）摸底数学试卷（理科）（解析版）

Eξ==．

20．已知圆F1：（x+）2+y2=r2与圆F2：（x﹣）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4）的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M，若曲线E上相异两点A，B满足直线MA，MB的斜率之积为?

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标． 【考点】圆与圆的位置关系及其判定；轨迹方程． 【分析】（Ⅰ）确定|QF1|+|QF2|=4＞|F1F2|，可得曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b2=a2﹣c2=1，即可求E的方程；

（Ⅱ）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线MA，MB的斜率之积为，即可证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．

【解答】解：（Ⅰ）设⊙F1，⊙F2的公共点为Q，由已知得，|F1F2|=2，|QF1|=r，|QF2|=4﹣r，

故|QF1|+|QF2|=4＞|F1F2|，

因此曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b2=a2﹣c2=1， 所以曲线E的方程为

；

（Ⅱ）由曲线E的方程得，上顶点M（0，1），设点A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．

若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x1， 故y1=﹣y2，y12=y22=1﹣

，

因此，直线MA，MB的斜率之积为﹣与已知不符，因此直线AB的斜率存在

=

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y=kx+m，设直线AB：代入椭圆E的方程

x2+8kmx+4=0① ，得（1+4k2）（m2﹣1）

因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根x1，x2 所以x1+x2=﹣

，x1x2=

直线MA，MB的斜率之积为化简得m2+6m﹣7=0，

故m=﹣7或m=1（舍去），

∴直线AB恒过定点N（0，﹣7）．

=

21．已数列{an}满足a1=1，an+1﹣an=，bn=?Sn是数列{bn}的前n项和．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求证；对任意n∈N*．Sn＜（n﹣1）?2n+1． 【考点】不等式的证明；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）两边同乘以2n+1，可得数列{2nan}为首项为2，公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到；

=sinx﹣xcosx，x∈1]，（Ⅱ）设f（x）（0，运用导数可得tanx＞x，即

bn=＜，

=得证．

＜n?2n﹣1，再由错位相减法可得Tn=1+2?2+…+n?2n﹣1=（n﹣1）?2n+1，即可

【解答】解：（Ⅰ）an+1﹣an=

，

可得2n+1an+1﹣2nan=2，

即数列{2nan}为首项为2，公差为2的等差数列， 即有2nan=2+2（n﹣1）=2n， 则an=

；

（Ⅱ）证明：设f（x）=sinx﹣xcosx，x∈（0，1]， 则f′（x）=cosx﹣（cosx﹣xsinx）=xsinx＞0，

即有f（x）在（0，1]递增，则f（x）＞0，即有sinx＞xcosx， 则tanx＞x，即

＜，

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故bn=

=

＜n?2n﹣1，

Sn=b1+b2+…+bn＜1+2?2+…+n?2n﹣1， 记Tn=1+2?2+…+n?2n﹣1，

2Tn=1?2+2?22+…+n?2n，

相减可得Tn=﹣（1+2+…+2n﹣1）+n?2n =n?2n﹣

=（n﹣1）?2n+1，

故对任意n∈N*．Sn＜（n﹣1）?2n+1．

选修4一1：几何证明选讲

22．如图，圆O的半径为2，等腰△ABC的底边的两端点B，C在圆O上，AB与圆O交于点D，AD=2，圆O的切线DE交AC于E点． （I）求证：DE⊥AC；

（Ⅱ）若∠A=30°，求BD的长．

【考点】圆內接多边形的性质与判定． 【分析】（I）设AC交圆O于点F，则∠B=∠AFD，∠C=∠ADF，证明四边形ADOF是菱形，OD∥AC，即可证明DE⊥AC；

（Ⅱ）作OG⊥BD于点G，则G是BD的中点，DG=ODcos30°，即可求BD的长． 【解答】（I）证明：设AC交圆O于点F，则∠B=∠AFD，∠C=∠ADF， ∵∠B=∠C，

∴∠AFD=∠ADF， ∴AD=AF=2， ∵OD=OF=2，

∴四边形ADOF是菱形， ∴OD∥AC， ∵DE为切线， ∴OD⊥DE， ∴DE⊥AC；

（Ⅱ）作OG⊥BD于点G，则G是BD的中点， ∵OD∥AC，

∴∠BDO=∠A=30°， ∴DG=ODcos30°=， ∴BD=2．

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选修4-4：坐标系与参数方程

23．已知直线l的极坐标方程是psin（θ+

）=2，以极点为原点，极输为x轴的非负半轴

建立平面直角坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的参数方程为

（θ为参数）．

（1）求直线l的普通方程；

（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（1）首先，根据两角和的正弦公式展开，然后，利用极坐标和直角坐标互化公式进行求解；

（2）首先，可以设与直线l平行的直线，然后，联立方程组，求解相切位置情况下的直线方程，然后，求解两条直线之间的距离就是所求的最小距离． 【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程是psin（θ+∴ρsinθcos∴

+ρcosθsin，

=2，

）=2，

∴x+y﹣4=0，

∴直线l的普通方程：x+

y﹣4=0，

（θ为参数）．

（2）∵曲线C的参数方程为

∴，

y+m=0，

设与直线l平行的直线方程为：x+∴联立方程组

，

∴13y2+6my+3m2﹣12=0，

∴△=（6m）2﹣4×13×3（m2﹣4）=0， ∴m2=13， ∴m=±， ∴曲线C上的点到直线l的距离的最小值d=

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=．