哈工大概率论答案-习题六

习 题 六

1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为?的泊松分布，从产品中抽一个容量为n的样本X1,X2,?,Xn，求样本的分布.

解 样本(X1,X2,?,Xn)的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为

nn P(X1?k,X2?1e?n?k2?,n,nX?nk)??i?1P(iX?i?k)?i?1?kiki!e??

?k1!k2!?kn!??kii?1 ki?0,1?,，i?1,2,?,n,

2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/?的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n件零件构成一个容量为n的样本，求样本分布。

解 零件的加工时间为总体X，则X~E(?)，其概率密度为 ??e??x,x?0, f(x)??

?0,x?0.于是样本(X1,X2,?,Xn)的密度为

n f(x1,x2,?,xn)???ei?1??xi????xi?ni?1,???e?0,?nxi?0 i?1,2?,n, 其它. 3．一批产品中有成品L个，次品M个，总计N?L?M个。今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当N??,M/N?p时样本分布为（6.1）式中n?2的情况。 解 总体X~(0?1)，即P(X?0)?于是样本(X1,X2)的分布如下 P(X1?0,X2?0)? P(X1?1,X2?0)?LNMN??L?1N?1LN?1LN,P(X?1)?MN

，P(X1?0,X2?1)?，P(X1?1,X2?1)?LNMN??MN?1M?1N?1

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若N??时

MN?p，则

LN?1?p，所以

0? P(X1?0,X2?0)?(1?p)2?p(1?p)0?2?2?2 0 1 1 P(X1?0,X2?1)?p(1?p)?p0?1(1?p) P(X1?1,X2?0)?p(1?p)?p1?0(1?p) P(X1?1,X2?1)?p2?p1?1(1?p)?2 2以上恰好是（6.1）式中n?2的情况.

4．设总体X的容量为100的样本观察值如下：

15 15 20 35 35 25 25 35 43 30

20 30 30 25 20 40 25 25 22 43

15 25 20 15 30 20 40 25 20 35

20 35 25 25 30 25 35 30 23 45

25 30 35 35 15 20 25 25 20 30

25 35 30 25 30 15 30 30 25 45

30 20 25 25 40 20 20 25 15 30

15 35 20 30 30 25 35 30 25 45

30 30 30 35 40 25 20 43 20 45

25 25 25 25 15 40 15 25 25 35

作总体X的直方图

解 样本值的最小值为15，最大值为45取a?14.5，b?45.5，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。用唱票法数出落在每个区间上的样本值的个数ni，列表如下：

分组区间 14.5—18.5 18.5—22.5 22.5—26.5 26.5—30.5 30.5—34.5 34.5—38.5 38.5—42.5 42.5—46.5 ?

频数ni 10 16 29 20 4 9 2 10 100 频率ni/n 0.10 0.16 0.29 0.20 0.04 0.09 0.02 0.10 1.00 ·83·

以组距4为底，以ni/4n为高作矩形即得X的直方图

0 ?n(x) 14.5 22.5 30.5 38.5 46.5 5．某射手独立重复地进行20次打靶试验，击中靶子的环数如下：

环数 10 频数 2 9 3 8 0 7 9 6 4 5 0 4 2 用X表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求X的经验分布函数，并画出其图像。

解 设X的经验分布函数为Fn(x)则

?0,??2,?20?2?,?20?6,??20 Fn(x)???15,?20?15?,20??18,?20??1,?x?4,4?x?5,5?x?6,6?x?7,1 0.75

0.5 0.3 0.1 0 7?x?8,8?x?9,9?x?10,x?10.4 5 6 7 8 9 10 6．设X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本，已知

EX??k(k?1,2,3,n充分大时，证明当随机变量Zn? ·84·

k1n?ni?1Xi近似服从正

2态分布，并指出其分布参数.

证 因X1,X2,?,Xn独立同分布，所以所以X12,X22,?,Xn2独立同分布，

EXi??2，DXi?EXi?(EXi)??4??2，由独立同分布下的中心极限定

224222理（列维一林德贝格定理），当n充分大时

n?X

i?12i?n?222?n?1n??nn?Xi?12i22???2??n1?n2iX?ni?1??222

?4???4??(?4??)/n2近似服从标准正态分布，所以当n充分大时，近似地有

1nn?i?1X21~N(?2,?4??2n)

7．设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本，X服从参数为?的指数

n分布，证明2??Xi~?2(2n).

i?1 [证] X1,X2,?,X2?Xi~?2n独立同分布，Xi~E(?)，今先证

?y??2??,y?0 ??)1?e?,y?0?0(2)i?,?1,2n. ,设Y,?2?Xi的分布函数为FY(y)则

FY(y)?P(Y?所以Y的密度为

y)?P?(2iX?y)?yP(X?i2?y????e2?,?fY(y)??2??0,?y?1?2y?0,?e,??2?0,y?0.?y?0,y?0;

注意到?(1)?1，则Y的概率密度为

2y?1??1y2e2,?2?2fY(y)??22?()2???0,2可见2?Xi~?(2).

y?0

y?0. 由?分布的可加性立即得到

n2 2??Xi~?2(n2 ).i?122 8．由附表查下列各值：?0.05(20),?0.95(20),t0.01(10),F0.05(12,15),

F0.95(15,12),u0.1

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