2015年江苏省高考数学试卷(备战高考)

（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）

n+3k=（a

2（n+2k）

，利用等式以及对数的性质化简整理得到1+2d）

ln（1+3t）ln（1+2t）

+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立． 【解答】解：（1）证明：∵∴2

，2

，2

，2

=

=2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，

依次构成等比数列；

（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）

假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列， 则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，

令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0）， 化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式， t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣， 显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．

（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，

则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k）， 分别在两个等式的两边同除以a12（n+k），a12（n+2k），并令t=

，（t＞

，t≠0），

则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k）， 将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t）， 且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t）， 化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]， 且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]， 再将这两式相除，化简得，

ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）

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令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）， 则g′（t）=

（1+t）2ln（1+t）]，

令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）， 则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]， 令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]， 令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=

＞0，

[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3

由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，

知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调， 故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立， 所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】

21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．

求证：△ABD∽△AEB．

【分析】直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角

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形相似．

【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，

可知：△ABD∽△AEB．

【点评】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．

【选修4-2：矩阵与变换】 22．（10分）已知x，y∈R，向量

=

是矩阵

的属于特征值﹣2的一个

特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值． 【分析】利用A得结论．

【解答】解：由已知，可得A则∴矩阵A=

，即

，

，

=﹣2

，即

=

=

，

=﹣2

，可得A=

，通过令矩阵A的特征多项式为0即

从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1）， ∴矩阵A的另一个特征值为1．

【点评】本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．

【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2

ρsin（θ﹣

）﹣4=0，求圆C的半径．

【分析】先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径． 【解答】解：圆的极坐标方程为ρ2+22ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，

化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0， 化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6， 圆的半径r=

．

ρsin（θ﹣

）﹣4=0，可得ρ2﹣

【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐

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标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，

[选修4-5：不等式选讲】 24．解不等式x+|2x+3|≥2．

【分析】思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）?f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；

思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥

”“x＜

”进行讨论求解．

【解答】解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x， 得2x+3≥2﹣x，或2x+3≤﹣（2﹣x）， 即x≥

，或x≤﹣5，

，或x≤﹣5}． ．

，

即原不等式的解集为{x|x≥解法2：令|2x+3|=0，得x=①当x≥所以x≥②x＜

时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥；

时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，

所以x≤﹣5．

综上，原不等式的解集为{x|x≥

，或x≤﹣5}．

【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）?f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）?﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．

【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤

25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD

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