2015年江苏省高考数学试卷(备战高考)

解得，

（5≤x≤20），P（t，

），

（2）①由（1）y=∴y′=﹣

，

∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）

，0），B（0，

），

设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（∴f（t）=

=

，t∈[5，20]；

②设g（t）=t∈（5，10

，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，

）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）

＞0，g（t）是增函数， 从而t=10

时，函数g（t）有极小值也是最小值，

∴g（t）min=300， ∴f（t）min=15答：t=10

，

千米．

时，公路l的长度最短，最短长度为15

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为

，且右焦点F到左准线l的距离为3．

+

=1（a＞b＞0）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

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【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；

（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．

【解答】解：（1）由题意可得，e==且c+

=3，解得c=1，a=

， +y2=1；

，CP=3，不合题意；

，

则b=1，即有椭圆方程为（2）当AB⊥x轴，AB=

当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0， 则x1+x2=

，x1x2=

，

则C（，），且|AB|=?=，

若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意； 则k≠0，故PC：y+

=﹣（x﹣

），P（﹣2，

），

从而|PC|=，

由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，

此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联

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立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．

19．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）． （1）试讨论f（x）的单调性；

（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值． 【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性； （2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣步转化为a＞0时，

﹣a+c＞0或a＜0时，

）=b（

）=

+b，则

+b）＜0，进一

﹣a+c＜0．设g（a）=

﹣a+c，利用条件即可求c的值． 【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b， ∴f′（x）=3x2+2ax， 令f′（x）=0，可得x=0或﹣

．

a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增； a＞0时，x∈（﹣∞，﹣f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣调递减；

a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣调递减；

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣

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）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，

），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单

，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，

，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单

）=）＜0，

+b，

∴b＞0且∵b=c﹣a， ∴a＞0时，设g（a）=

+b＜0，

﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c，

﹣a+c＜0．

∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，

∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0， ∴c=1，

此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]， ∵函数有三个零点，

∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，

∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0， 解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， 综上c=1．

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

20．（16分）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列． （1）证明：2

，2

，2

，2

依次构成等比数列；

（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．

【分析】（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；

（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；

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