微专题椭圆中离心率问题

微专题椭圆中离心率问题

一、高考再现

x2y21．【2013江苏】在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的标准方程为2?2?1?a?0,b?0?，

ab右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点B. 设原点到直线BF的距离为d1， F点到

l的距离为d2. 若d2?6d1，则椭圆C的离心率为 . 【答案】

3 32. 【2014江苏】如图所示，在平面直角坐标系xoy中，F1,F2分别是椭圆

x2y2??1?a?0,b?0?的左、右焦点，顶点B的坐标为?0,b?，连接BF2并延长交椭圆a2b2于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C. (2)若F1C?AB，求椭圆离心率e的值．

【答案】

5 5x2y23．【2016江苏】. 如图，在平面直角坐标系xoy中，F是椭圆2?2?1?a?0,b?0? 的

ab右焦点，直线y?是 . 【答案】

b0 与椭圆交于B,C两点，且?BFC?90,则该椭圆的离心率26 3

二、例题赏析：

x2y2例1. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点，A,B分别为

abC的左，右顶点．P为上C一点，且PF?x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M与

1y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 . 【答案】

3

【解析】设直线AE的方程为y?k?x?a?，

令x??c，可得M??c,k?a?c??

[

令x?0，可得E?0,ka? 设OE的中点为H，可得H?0,??ka??，由?HOB∽?MFB 2??MFBFa?ck?a?c?a?c1?????a?3c即e?

kaHOBOa3a2【归纳小结】求离心率的值关键是由已知条件找到关于a,b,c的齐次方程，结合

a2?b2?c2转化为关于a,c的齐次方程解得.本题也可用平面几何相似法，也可以用代数

法或用几何代数结合法寻求等量关系，

x2y2变式1.已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆2?2?1?a?b?0?上一点，若

abPF1?PF2,tan?PF2F1?2，则椭圆的离心率e? . 【答案】

5 3

x2y2【解析】 点P是以F1，F2 为焦点的椭圆2?2?1?a?b?0?上一点，abPF1?PF2，tan?PF2F1?2，

PF2a1，?2设PF2?x ，则PF1?2x ，由椭圆定义知x?2x?2a ，?x?PF23

2a4a222，则PF，由勾股定理知PF?PF?FF?PF2??2112 ， 133?? 解得c?5c5a，?e?? ． 3a3x2y2变式2.椭圆?:2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2c，若直线

aby?3?x?c?与椭圆的一个交点满足?MF1F2?2?MF2F1,则该椭圆的离心率等

于 . 【答案】3?1

【解析】因为直线过椭圆左焦点F1??c,0?，又斜率为3，所以倾斜角为

?，即3???，又，故，所有， ?MFF??MFF??FMF??MFF?2?MFF1221211221362MF1?F1F2cos?3?c，MF2?F1F2sin?3?3c，e?2c2c??3?1 2aMF1?MF2x2y2变式3.已知椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，过F1且与x轴垂直

ab的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S?ABC?3S?BCF2，则

椭圆的离心率为 . 【答案】

5 5

【解析】设椭圆的左右焦点分别为F1??c,0?,F2?c,0?，由x??c，代入椭圆方程得

?b2b2?y???c,?,C?x,y?，由S?A，设A???aa??BC?3S?2B，F得CAF2?2F2C，即

?b24c2b2b2???2c,?a???2?x?c,y?可得x?2c,y??2a，代入椭圆方程得a2?4a2?1，即??e?5 5x2y2例2. 设椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在

ab点P，使?F1PF2?90?，求离心率e的取值范围. 【答案】[【归纳小结】建立不等关系的常见方法 1.利用图形的几何特性，建立不等关系

2.利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系 3.利用基本不等式，建立不等关系 4.利用三角函数有界性，建立不等关系 5.利用二次方程有实根，建立不等关系 6.利用已知中的不等关系，建立不等关系

2，1） 2变式1.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且?F1PF2?60，椭圆离心率

??1?e的取值范围为 . 【答案】?,1?

?2?x2y2变式2.设椭圆2?2?1（a?b?0）的两焦点为F1，F2，若椭圆上存在一点Q，使

ab6?F1QF2?1200，椭圆离心率e的取值范围为 . 【答案】?e?1

3x2y2变式3. 已知椭圆E:2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直

ab线l:3x?4y?0交椭圆E于A,B两点．若AF?BF?4，点M到直线l的距离

不小于

34] ，则椭圆E的离心率的取值范围是 .【答案】(0,25x22例3. 如图，设椭圆2?y?1(a?1)，若任意以A?0,1?为圆心的圆与椭圆至多有三个公

a共点，求椭圆离心率的取值范围。

22【解析】设圆方程为x??y?1??r，与椭圆联立方程

2?x2??y?1?2?r2 ?2222x?ay?a?消去x得a?1y?2y?r?a?1?0 由题设知方程在??1,1?上最多一解，

?2?222