网络函数

9-6 网络函数

1．网络函数

在线性非时变电路中，如果电路中只有一个激励源，且所有储能元件的初始条件均为零，在复频域中响应的象函数R(s)和激励的象函数E(s)之比，称为网络函数（network function），用符号H(s)表示，即

H(s)?R(s) (9-6-1) E(s)激励E(s)可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电路中任意两点之间的电压或任一支路的电流。激励和响应在同一端口的网络函数称为策动点函数或驱动点函数（driving-point function）；激励和响应在不同端口的网络函数称为转移函数（transfer function）。按照激励和响应的不同，网络函数可分为以下六类：

（1） 激励为电流源I(s)，响应为同一端口的电压U(s) ，则网络函数

H(s)?U(s)称为驱动点阻抗或入端阻抗； I(s)（2） 激励为电压源U(s)，响应为同一端口的电流I(s)，则网络函数

H(s)?I(s)称为驱动点导纳或入端导纳； U(s)（3） 激励为某端口处的电流源I1(s)、响应为另一端口的电压U2(s)，则网络函数H(s)?U2(s)称为转移阻抗； I1(s)（4） 激励为某端口处的电压源U1(s)、响应为另一端口的电流I2(s)，则网络函数H(s)?I2(s)称为转移导纳； U1(s)（5） 激励为某端口处的电流源I1(s)、响应为另一端口的电流I2(s)，则网络函数H(s)?I2(s)称为转移电流比或电流传递函数； I1(s)（6） 激励为某端口处的电压源U1(s)、响应为另一端口的电压U2(s)，则网络函数H(s)?U2(s)称为转移电压比或电压转移函数。 U1(s) 例题9.6.1 图9.18(a)所示的电路为一低通滤波器，激励为电压源u1，输出为u2和i1。已知：L1?1.5H，L2?0.5H，C?数H1(s)和电压转移函数H2(s)。

4F，R?1Ω。求驱动点导纳函3i1+-L1L2I1(s)sL1sL2u1C.Ru2-++-U1(s)

(a) (b)

图9.18 例题9.6.1

.sCRU2(s)1+-

解 作运算电路图如图9.18(b)所示。

2s2?4s?3U1(s)?U1(s)?3 I1(s)?213s?6s?6s?3(R?sL2)sL1?sC1?R?sL2sC故驱动点导纳函数为

I1(s)2s2?4s?3 H1(s)??32U1(s)3s?6s?6s?3I2(s)?I1(s)?1sCsL2?R??I1(s)?3

2s2?4s?31sC32s2?4s?3.?U1(s)?3

3s?6s2?6s?32s2?4s?3?U1(s)?33s3?6s2?6s?3

故电压转移函数为

H2(s)?U2(s)RI2(s)1??3

s?2s2?2s?1U1(s)U1(s) 在定义网络函数时，没有限定激励的形式，若激励源是一个单位冲激函数

e(t)??(t)，则它的拉氏变换E(s)=1，这时网络函数可表示为冲激响应的拉普拉

斯变换，即

H(s)?R(s)=R(s) E(s)即网络函数就是该响应的象函数。所以网络函数与输出变量的冲激响应互为拉氏变换对。即

h(t)= L

?1[H(s)] (9-6-2)

这样，通过求出网络在复频域内的网络函数，即可求得相应输出变量在时域内的冲激响应。

例题9.6.2 图9.19(a)所示的电路中，电流源iS??(t)，求电容电压的冲激响应h(t)。

+iS.RCuC-

IS(s)=1.RsC1+-UC(s)

(a) (b)

图9.19 例题9.6.2

解 在图9.19 (b) 中画出对应的运算电路图，从图中可看出响应和激励属同一端口，因此网络函数为驱动点函数，即

H(s)?U(s)R(s)111?Z(s)?C ???1E(s)sC?GCs?1RC进行拉氏反变换，得到冲激响应

h(t)?uC(t)= L

?11?RCtε(t) [H(s)]?eC1 2. 网络函数的零点和极点

对于线性集总参数电路，任何激励与响应的关系均可由常系数微分方程描述，因此响应与激励象函数的比（网络函数）可表示成实系数的有理分式，即

N(s)amsm?am?1sm?1???a1s?a0 H(s)? (9-6-3) ?nn?1D(s)bns?bn?1s???b1s?b0对分子和分母多项式作因式分解，并假设分子分母无公因式，则

H(s)?H0(s?z1)(s?z2)?(s?zm) (9-6-4)

(s?p1)(s?p2)?(s?pn)式中，H0?ambn 称为比例因子或H(s)的增益常数；z1,z2,?,zm称为H(s)的零点；p1,p2,?,pn称为H(s)的极点，也称为网络函数的自然频率（natural frequency）。

一个网络函数，如果其零点、极点和比例常数确定了，则网络函数就是完全确定的。为了方便，常把零点和极点画在复平面s上，习惯上零点z用圆圈o表示，极点p用?表示。零点和极点在s平面上的分布图称为网络函数的零极图。

例题9.6.3 图9.20所示电路中，R?1?,C?1F,L?1H。求电压转移函数

H(s)?U2(s)U1(s)，并作出其零极图。

jωRU1(s)P1.0.866OO+-+C.LU2(s).-0.5

P2zσ-.-0.866

图9.20 RLC二端口电路 图9.21 RLC二端口电路零极图 解 由节点电压法得 (U(s)11?sC?)U2(s)?1 RsLR H(s)?U2(s)?U1(s)1RsRC??1sL

ssLRC?2 ?11sRLC?sL?Rs2?s?RCLC