复变函数与积分变换试题及解答

dzz2?1令z?e，则dt?,cost?，于是

iz2zit I?12?Z?11dz1?i?z?1z2?6z?1dz z2?1iz3?2z （1分）

被积函数f(z)?1在z?1内只有一阶极点

z2?6z?1z0?3?8，由公式

Res[f(z),z0]?lim1?1 ?z?z0[z2?6z?1]?42故由留数定理

I?i2?i?142??22 （2分）

得分 评卷人 六、（6分）求上半单位圆域{z:|z|?1,Imz?0}在映射w?z2下的象.

解：令z?rei?，则r?1,0????

z2?r2e2i???ei?， ??r2?1,0???2??2?

（3分）

故w?z2将上半单位圆域映射为|w|?1且沿0到1的半径有割痕.

yviw?z2-11-1x-i1u

（3分）

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得分 解：

评卷人 七、（8分）求一映射，将半带形域?圆域.

?2?x??2,y?0映射为单位

z:yz1:y1?2z1?iz??2?2x?x1?2z2:iy2z3:y3ix3z2?ez11z3?iz2x2-i-11y4z4?z3?1z3?1x4uii-11v2z5?z4z?iw?5z5?i-iizz3?12ie?12()?i()?iizz3?1故w??ieiz?1z?12ie?12(3)?i(iz)?iz3?1ie?1

（2分）

（1分）

（2分）

（2分）

（1分）

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得分

评卷人 八、（6分）设f(z)在|z|?1内解析，在闭圆|z|?1上连续，且

f(0)?1，证明：

1dz[2?(z?)]f(z)?(2?f?(0))2?i ?|z|?1zz1dz证：由于?[2?(z?)]f(z)

|z|?1zz

2f(z)(z2?1)f(z)??[?]dz 2|z|?1zz

2f(z)(z2?1)f(z)??dz??dz 2|z|?1|z|?1zz?2?i{2f(0)?[(z2?1)f(z)]?z?0 （2分）

}?2?i(2?f?(0)) （4分）

得分 评卷人 九、（8分）用Laplace变换求解常微分方程：

?y????3y???3y??y??1 ??y??(0)?y?(0)?1,y(0)?2解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得

S3Y(S)?S2y(0)?Sy?(0)?y??(0)?3(S2Y(S)?Sy(0)?y?(0))

1 S1(S3?3S2?3S?1)Y(S)?1??2(S2?3S?3)?(S?3)

S1 ?(2S3?5S2?4S?1)

S1?(2S?1)(S?1)2 S?3(SY(S)?y(0))?Y(S)??（4分）

即 Y(S)?2S?111??

S(S?1)SS?1

（2分） （2分）

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故 y(t)?L?1[Y(S)]?et?1