高等数学（经管类）下、林伟初 郭安学主编、复旦大学出版社、课后习题答案

第三次所需要筹集的资金(单位：百万元)

33；

?2(1?0.05)1.052一直延续下去，则

总所需要筹集的资金(单位：百万元)

333????=3? 21.051.051.05n1这是一个公比为的等比级数，收敛于3?63。

1.0511?1.05因此，以年复利计算利息时，该公司需要在银行中一次存入6300万元资金。

复习题9 （A）

1. 判别下列正项级数的敛散性：

??11； （1）?2； （2）?nn?2lnnn?1nnn2n（3）?(1?cos)； （4）?. 2nn?1n?1(n!)??1?21nlnn解：（1）由于lim ?lim2???，而调和级数?发散，所以原级数发散；

n??n??lnn1nn?1n1?n11nn?limn?1，而调和级数?发散，所以原级数发散； （2）由于limn??n??1nn?1nn21?cos?1n（3）由于lim?2，而级数?2收敛，所以原级数收敛；

n??1n?1nn2(n?1)n?1(n?1)n[(n?1)!]2（4）因为lim?lim?0?1，所以原级数收敛。

n??n??(n?1)nnnn(n!)22. 设正项级数?un,?vn都收敛，试证明级数?(un?vn)2也收敛.

n?1n?1n?1???证：由于正项级数?un收敛，由级数收敛的必要条件有limun?0，那么存在充分大

n?1?n??2的正整数N，使得当n?N时，成立un?1，于是当n?N时，un?un?1。则由比较判

别法的推论，可知级数

?un?1?2n也收敛。同理，可证得级数

?vn?1?2n也收敛。

?un2?vn2un2?vn21??2?2?由于unvn?，而级数????un??vn?收敛，因此级数

222?n?1n?1n?1? - 33 -

??uvn?1nn绝对收敛。

因为

?un?1?2n??vn?2?unvn??(un?vn?2unvn)??(un?vn)2，等式左边三个

222n?1n?1n?1n?1????级数都收敛，所以级数

?(un?1?2?v)收敛。 nn3. 判别下列级数:是绝对收敛?条件收敛?还是发散？

??10(?1)n?1（1）?； （2）?nn；

n?1ln(2?n)n?1(?3)(n?1)! （3）?(?1)n； （4）?(?1)nn?1.

n?1nn?1n?1n??解：（1）这是一个交错级数，un?111?un?1?,且un?，

ln(2?n)ln(2?n)ln(3?n)(?1)n收敛．但?ln(2?n)n?1?1limun?lim?0．由莱布尼兹判别法知n??n??ln(2?n)?n?1???(?1)n(?1)n1?发散，故?条件收敛。

ln(2?n)?n?1ln(2?n)n?1ln(2?n)（2）因为limn??un?1un(n?1)10?n10(n?1)101(?3)n?1所以原级数?绝对?lim?lim??1，n1010n??n??n3n3n?1(?3)(?3)nn收敛；

（3）因为lim(?1)n??n不存在，即原级数不满足级数收敛的必要条件，故原级数发n?1(n?2)!?n?2?n(n?2)1(n?1)?lim?lim?n??n??(n?1)21nn(n?1)!?(?1)(1?)nn?1n?(?1)n?1??1???1，所以?e?散；

（4）因为limn??un?1un原级数

?(?1)nn?1??(n?1)!绝对收敛； nn?1n?4. 求下列幂级数的收敛域：

2nx（1）?(2n)!x； （2）?；

n?0n?1(2n?1)!?nn(x?4)n3?5nx； （4）? （3）?； nnn?1n?1?(?1)n （5）?10(x?1)； （6）?2(x?3)n.

n?0n?0n?nn?解：（1）由于??limn??an?1[2(n?1)]!?lim???，则原级数收敛半径为R?0，显n??an(2n)!然原级数只在x?0收敛；

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（2）由于??limn??an?1an1(2n?1)!?lim?0，则原级数收敛半径为R???，显然原n??1(2n?1)!n级数的收敛域为(??,?)；

?3?n1?5??nn3?51?5??lim?5（3）由于??limn，则原级数收敛半径为R?。当

nn??n??n5n?3??1n????113n?5n?1?5??，此时级数发散；当时，原级数x?时，原级数为?x??????55n?5?nn?1n?1n?3?n???1??3n?5n?1?n?5?为?，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为??(?1)???n?5?nn?1n?111[?,)。 551a（4）由于??limn?1?limn?1?1，则原级数收敛半径为R?1。当x??3时，

n??an??1nn??(?1)n1原级数为?，此时级数发散；当x??5时，原级数为?，此时级数收敛。因此，

nn?1n?1n原级数的收敛域为[?5,?3)。

111nn（5））由于??lim10?10，则原级数收敛半径为R?。当x?时，原级数

n??1010nn????9119????nn为?10?级数发散；当x?时，原级数为?10??1???1，?1???(?1)n，

10?10??10?n?1n?1n?1n?1911级数发散。因此，原级数的收敛域为(,)。

10101an?1(n?1)2?lim?1，则原级数收敛半径为R?1。当x?4时，（6）由于??limn??an??1nn2??(?1)n1原级数为?，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，x?2?22nnn?1n?1原级数的收敛域为[2,4]。

5. 求下列幂级数的收敛域及和函数： （1）?nx2n?1??n?1n； （2）?(n?1)xn?1；

n?0??1xn； （4）1xn?1. （3）?n??1n?02n?1n(n?1) - 35 -

an?1(n?1)2解：（1）由于??lim?lim?1，则原级数收敛半径为R?1。当x?12n??an??nn时，原级数为

?nn?1?2，此时级数发散；当x??1时，原级数为

?(?1)n?1?n?1n2，此时级数发散。

因此，原级数的收敛域为(?1,1)。

级数的和为

??n?1?????n??nx??n(n?1)x??nx???x????x??n?1n?1n?1?n?1??n?1?

211?x?1????1?? ???1?x????1????.3231?x1?x(1?x)(1?x)(1?x)????an?2（2）由于??limn?1?lim?1，则原级数收敛半径为R?1。当x?1时，原

n??an??n?1n?2n?1?n?1?n?1级数为

?(n?1)，此时级数发散；当x??1时，原级数为?(?1)n?1n?1??n?1(n?1)，此时级数发

散。因此，原级数的收敛域为(?1,1)。

级数的和为

x??n?1???1??(n?1)x?x(n?1)x?xx?x?1?. ???????21?x(1?x)??n?0n?0?n?0??11（3）由于??limnn?1?，则原级数收敛半径为R?2。当x?2时，原级数为?2，

n??22n?1?n?1?n此时级数发散；当x??2时，原级数为为(?2,2)。

级数的和为

?2(?1)n?1?n，此时级数发散。因此，原级数的收敛域

?xn11?x??2?2??. ????n?1x222?x?n?0n?0?1?21a(n?1)(n?2)?1，（4）由于??limn?1?lim则原级数收敛半径为R?1。当x?1n??an??1nn(n?1)??(?1)n?11时，原级数为?，此时级数收敛；当x??1时，原级数为?，此时级数

n(n?1)n(n?1)n?1n?1收敛。因此，原级数的收敛域为[?1,1]。

n?由于

?????11n?1?n?1x?x?， ????1?xn?1?n?1n(n?1)?而

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