高等数学（经管类）下、林伟初 郭安学主编、复旦大学出版社、课后习题答案

1所以fx(1,2)??2earctan(1?5).

5?y (4) fx(x,y,z)?1,fy(x,y,z)??z,fz(x,y,z)?.

x?yzx?yzx?yz11 故fx(2,0,1)?,fy(2,0,1)??,fz(2,0,1)?0.

223．设r?x2?y2?z2，证明： ?r????r????r??1; (1) ?????????x???y???z?222?r?r?(2) ?2?r?2; 22r?x?y?z?2(lnr)?2(lnr)?2(lnr)1(3) ???2.

?x2?y2?z2r?rx?x, ?证明：?xrx2?y2?z2222利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：?r(1)

?x?r?y,?r?z.

?yr?zr??2??r??r?????z??y?2??2x2?y2?z2r2??2?1

r2r2?rxr?xr?222?rr?x?xr(2) 2? ???xr2r2r322?2rr?y?2rr2?z2利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：2? ,2??yr3?zr3222?2r?2r?2r3r?x?y2r22?2?2?2??3?.

r?x?y?zr3r?(lnr)xx(3) lnr?1ln(x2?y2?z2),?2?2 222?xx?y?zr?r2?2(lnr)r?x2r?xr2?2x2 ???x2r4r4?2(lnr)r2?2y2?2(lnr)r2?2z2?,?. 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：

?y2r4?z2r4?2(lnr)?2(lnr)?2(lnr)3r2?2(x2?y2?z2)1?????2.

?x2?y2?z2r4r222

?z?z?4. 求下列函数的二阶偏导数2,2,z： ?x?y?y?x

(1) z?4x3?3x2y?3xy2?x?y； (2) z?xln(x?y).

2?z?z22解：(1) ?12x?6xy?3y?1,2?24x?6y.

?x?x?z?2z?3x2?6xy?1,2??6x. ?y?yx?y?xx?2y?z1?2z1(2) ?ln(x?y)?x,2???.

?xx?y?xx?y(x?y)2(x?y)2?zx?2zx?,2??. ?yx?y?y(x?y)25. 某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y(单位：吨)，总成本(单位：

- 5 -

元)为

C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,

求当x=4,y=3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：Cx(x,y)?60x?10y,Cy(x,y)?10x?40y, ?Cx(4,3)?270,Cy(x,y)?160.

经济含义:当A,B两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B水泥产量不变，而A水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A水泥产量不变，而B水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。

6. 设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为

Q=400－2p+0.03y.

求当p=25,y=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义. 解：

Qp(p,y)??2,Qy(p,y)?0.03, Qp(25,5000)??2,Qy(25,5000)?0.03.

经济含义: 价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.

习题7-4

1. 求下列函数的全微分： (1) z=4xy3+5x2y6；

(2) z?1?x2?y2

y?eyz 2(3) u=ln(x－yz)； (4) u?x?sin解：(1) ?z?4y3?10xy6,?z?12xy2?30x2y5,

?x?ydz?2y3(2+5xy3)dx?6xy2(2+5xy3)dy. 所以 ?y?z?x?z?,?, (2) ?x1?x2?y2?y1?x2?y2dz?所以 ?x1?x?y22dx??y1?x?y22dy.

?y(3) ?u?1,?u??z,?u?,

?xx?yz?yx?yz?zx?yz?y1?z所以 du?dx?dy?dz.

x?yzx?yzx?yzy(4) ?u?1,?u?1cos?zeyz,?u?yeyz,

?x?y22?zy1du?dx?(cos?zeyz)dy?yeyzdz. 所以 22y

2. 计算函数z=x在点(3，1)处的全微分. 解：?z?yxy?1,?z?xylnx,

?x?ydz?yxy?1dx?xylnxdy. 所以 dz(3,1)?dx?3ln3dy.

3. 求函数z=xy在点(2，3)处，关于Δx=0.1，Δy=0.2的全增量与全微分.

- 6 -

?z解：?z?y,?z?x,所以?z?3,?2,

?x(2,3)?y(2,3)?x?y?z??z?z?x??y?0.3?0.4?0.7 ?x(2,3)?y(2,3) dz(2,3)?3dx?2dy.

4. 计算 (1.04)2.02的近似值.

设函数f(x,y)=xy.x=1,y=2,Δx=0.04,Δy=0.02.

f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,

fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.

由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得

(1.05)3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.

5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm，内半径为4 cm，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm，求容器外壳体积的近似值.

解：解 设圆柱的直径和高分别用x，y表示，则其体积为

V?f(x,y)?π(x)2y?1πx2y.

24于是，将所需的混凝土量看作当x+Δx=8+2×0.1，y+Δy=20+0.1与x=8，y=20时的两个圆柱体的体积之差ΔV(不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式

ΔV≈dV=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy.

11又fx(x,y)?πxy,fy(x,y)?πx2，代入x=8，y=20，Δx=0.2，

24Δy=0.1，得到

11?V?dV???8?20?0.2???82?0.1?17.6??55.264.(m3).

243

因此，大约需要55.264m的混凝土.

习题7-5

1. 求下列函数的全导数：

dz； dtdz(2) 设z=arctan(u－v),而u=3x,v=4x3,求导数;

dxdz(3) 设z=xy+sint,而x=et,y=cost,求导数.

dtdz?zdu?zdv???? 解： (1)

dt?udt?vdt?3e3u?2v?2t?2e3u?2v?(?sint)

(1) 设z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求导数

?6te3t?2cost?2sinte3t?2cost

dz?zdu?zdv???? (2)

dx?udx?vdx1?1 ??3??12x 21?(u?v)1?(u?v)23 ??(1?4x). 1?(3x?4x3)2dy(3) dz??z?dx??z???z

dt?xdt?ydt?t

- 7 -

22

?y?et?x(?s?int)?co ts ?cots?et?etsti?ntc os2. 求下列函数的偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)：

(1) 设z=u2v－uv2，而u=xsiny,v=xcosy，求?z?x和?z?y；

(2) 设z=(3x2+y2)4x+2y，求?z?x和?z?y；

(3) 设u=f(x,y,z)=ex+2y+3z,z=x2cosy，求?u?x和?u?y；

(4) 设w=f(x，x2y，xy2z)，求?w?w?w?x,?y,?z.

解：(1)?z?z?u?z??x??u??x??v?v?x?(2uv?v2)siny?(u2?2uv)cosy ?(x2sin2y?x2cos2y)siny?(x2sin2y?x2sin2y)cosy?z?y??z?u??u?y??z?v??v?y?(2uv?v2)xcosy?(u2?2uv)xsiny ?(x2siny2?x2c2osyx)c?yos2x(2s?yin2xsyinx 2(2) 令u?3x2?y2,v?4x?2y,则z?uv.

?z?z?u?z?x??u??x??v??v?x?vuv?1?6x?uvlnu?4 ?6x?3x2?y2?4x?2y?1?4?3x2?y2?4x?2yln(3x2?y2)

?z?x??z?u??u?y??z?v??v?y?vuv?1?2y?uvlnu?2 ?2y?3x2?y2?4x?2y?1?2?3x2?y2?4x?2yln(3x2?y2)

(3)

?w?x?f1?f2?2xy?f3?y2z ?w?y?f2?x2?f3?2xyz

?w?z?f23?xy 3. 应用全微分形式的不变性，求函数z?arctanx?y1?xy的全微分. 解：令u?x?y,v?1?xy,则z?arctanuv

dz?d(arctanuv)?11du?1u1?(uv)2v1?(u22dv v)v而du?dx?dy,dv??ydx?xdy

故dz?11(x?y21??1?xy[dx?dy?)(?ydx?xdy)1?] ?x?y?xy?1?xy?? ?dxdy1?x2?1?y2. 4. 已知sinxy－2z+ez=0,求?z?z?x和?y..

解：两同时对x求偏导，可得

ycosxy?2?z?z?x?ez?x?0.

- 8 -

ysin)