高等数学（经管类）下、林伟初 郭安学主编、复旦大学出版社、课后习题答案

1?01?xdx??ln(1?x) , x?(?1,1)

x所以

xx1xn?1x??ln(1?x)dx??xln(1?x)?dx??xln(1?x)?ln(1?x)?x.????n?1n(n?1)001?x

6. 将下列函数展开成x的幂级数：

（1）3x； （2）x21?x2； （3）ln(1?x?2x2)； （4）1(x?1)(x?2)； （5）?xsint0tdt； （6）?x0et2dt.

??n解：（1）3x?exln3(xln3)??(ln3)n?nn?0n!?x , x?(??,?n?0n!)；

（2）x21?x2?1?1n1?x2?1??x2nn??x2n , x?n?0?(?1,1)； n?1（3）ln(1?x?2x2)?ln[(2x?1)(1?x)]?ln(2x?1)?ln(1?x) ???(?1)n?11?(2x)n?n?1n?(?1)n?11n?1n(?x)n

???(?1)n?12nn?1n?(?1)n?12n?1n1n?1nx??x??x , x?(?,1]. n?1nn?1n22（4）1(x?1)(x?2)?11?x?1?2?x??xn?1n?02???n?0?x?n?2??

??1n?02??xn???xn12n??(1?n?1)xn , x?(?1,1).

n?0n?02（5）

?xsinttdt??x??0???(?1)nt2n??(?1)nx2n0n?0(2n?1)!??dt??n?0(2n?1)!?0tdt ?(?1)n??n?1)(2n?1)!x2n?1 , x?(??,?). n?0(2xt2x??t2n??1xn?1（6）?0edt??0???2n?x2 , x?(??,?).n?0n!??dt??n?0n!?0tdt??n?0(2n?1)n!7. 求下列函数在指定点处的幂级数展开式：

（1）f(x)?ex,x0?1； （2）f(x)?1x,x0?2.

?解：（1）ex?eex?1e?(x?1)n? , x?(??,?).

n?0n!（

2

1x?12?(x?2)?112?11?x?22???x?2?n?(?1)nn?0???2????n?02n?1(x?2)n , x?2?2. 2(B)

）

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1. 讨论级数?(n?1)!的敛散性. n?1nn?1?解：由于limun?1n??un(n?2)!??n?2?n(n?2)1?1(n?1)?lim?lim?由比值判别法知，???1，n??(n?1)!n??(n?1)21?(1?)n?en?1nn????2n?2n?原级数收敛。

2. 已知正项级数?un收敛，证明级数?u也收敛.反之，若?u收敛，?un是否一

n?1n?1n?1n?1定收敛？

证：由于正项级数?un收敛，由级数收敛的必要条件有limun?0，那么存在充分大

n?1?n??2的正整数N，使得当n?N时，成立un?1，于是当n?N时，un?un?1。则由比较判

别法的推论，可知级数

??un?12?2n也收敛。

??1?1? 反之，若?un收敛，则?un不一定收敛。例如，级数?????2收敛，

n?1n?1n?1?n?n?1n?1但调和级数?发散。

n?1n?23. 已知级数?u收敛，证明级数?2nn?1?un绝对收敛. nn?1?证：由柯西不等式，有

骣nun??邋??桫k=1n亦即

n骣n1鼢骣n2÷÷￡珑un， 珑2鼢?÷鼢÷珑n桫桫k=1k=1n12n122骣1鼢骣2珑￡u鼢珑邋n2鼢?珑桫桫k=1nk=1nk=1un令Sn=，

￥?nk=1unSn￠=，n?nk=11Snⅱ=，2n?nk=1un，分别是级数?2￥的部分和。由上式，可知成立Sn￡SnⅱSn?。由于级数?n=112和?un收敛，那么部分和2nn=1n=1￥￥￥un12、和?un?2nn=1nn=1数列Sn￠和Snⅱ收敛，因此数列Sn￠和Snⅱ有界。而Sn￡￥{}{}{}{}SnⅱSn?，所以正项级数un的部分和数列{Sn}单调有界。由数列的单调有界定理，可知极限limSn存在，所?nnn=1￥￥unu以级数?收敛，亦即级数?n绝对收敛。

n=1nn=1n4. 求幂级数?(?1)n?1?n?1(3x?2)n的收敛半径和收敛域.

2n?1nn?3n?2?n?1(3x?2)n?1解：原级数?(?1)??(?1)x???，则

2n?12n?13??n?1n?1? - 38 -

3n?1(?1)2n?3?lim3(2n?1)?3， ??limn??n??2n?33nn?1(?1)2n?111级数的收率半径为R??。

?3?11n?1 当x?1时，原级数为?(?1)，此时级数收敛；当x?时，原级数为

2n?13n?1??111，此时级数发散。因此，原级数的收敛半径为，收敛域为R?(,1]。 ?33n?12n?1n1?x5. 将函数f(x)?arctan展开为x的幂级数，并求其收敛域.

1?x?11?x??1?n2n?(?1)x , x?(?1,1)；所以 解：由于?arctan，而???221?x1?x?1?x?n?0xx??1?x1n2n?arctan??dx?(?1)x?dx ??0?1?x01?x2?n?0???(?1)n?0?n?x0x2n?1xdx??(?1) , x?(?1,1).

2n?1n?02n?n6. 利用幂级数展开式求下列级数的和：

??n(n?1)1（1）?2； （2）?(?1)n. n2n(n?1)22n?2n?1解：（1）由于

xn??ln(1?x) , x?(?1,1)； ?n?1n?所以

nnn?1n?1??11??1?1?1?1??1??1?1?1?1???????????????????????2n???2?n?2n?1?2?n?2n?1?2??2?n?2(n?1)2n?3n?2??n?1n?2?? ??1?1?1?1?1?1111?53??????????ln2???ln(1?)?????ln2.4n?1n?2?n?3n?2?4228?84?nn（2）由于

?n(n?1)xn?1?n?x?n(n?1)xn?1?n?12x??n?1????1????x??x??x??1?x?? , x?(?1,1)3?1?x?(1?x)?n?1?

所以

?1?2??????n(n?1)?1??4???32. (?1)n?n(n?1)??????122n125?4?n?1n?1(1?)34nnc7. 利用级数敛散性，证明lim?0，其中，c>1是常数。

n??n! - 39 -

?xncn?ec收敛。由级证：由于e?? , x?(??,?)；则对于任意常数c，级数?n?0n!n?0n!x?cn?0。 数收敛的必要条件，可知limn??n!28. 设数列?nan?有界，证明级数?an收敛.

n?1?证：由于数列{nan}有界，则存在正数M，使得对于数列{nan}的任意项，成立

M2M2nan?M，亦即an?。那么对于任意an，成立an?2；由于M是常数，显然级

nn???M2122数?2?M?2收敛。因此，由比较判别法可知级数?an收敛。 n?1nn?1nn?1习题10-1

1. 指出下列方程的阶数：

2d(1)xy????y???2xy?0． (2)LQ?RdQ?Q?0． 2dtcdtdρ(3)?ρ?cos2θ． (4)(y?xy)dx?2x2dy?0．

dθ46解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶

2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)xy??2y, y?Cx2．

(2)(x+1)dy?y2dx, y?x+1．

(3)y???2y??y?0， y?xe?x．

22(4)ds， s??0.2t?c1t?c2． ??0.4dt2解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；

(3)是，因为 y??e?x?xe?x,y????2e?x?xe?x，满足y???2y??y?0；

2s (4)是，代入，ds??0.4t?C1,d2??0.4，显然满足.

dtdt3. 验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程

d2x?k2x?0 dt2的通解.

2d解：x?(t)??C1ksinkt?C2kcoskt,x??(t)??C1kcoskt?C2ksinkt,满足x?k2x?0，所以2dt是解，又因为含有两个任意常数C1,C2，且方程是二阶的，故是通解.

224. 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程dx?k2x?0的通解,求满足初始条件 2dtx| t?0 ?2? x?| t?0 ?0 的特解.

解：上题可知是微分方程通解，且x?(t)??C1ksinkt?C2kcoskt,代入初值条件x|t?0?2,x?|t?0?0，得C1?2,C2?0，所以特解为x?2coskt(k?0).

2

习题10-2

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