2019-2020学年人教A版浙江省金华市十校高三第一学期期末数学试卷 含解析

故答案为：4． 16．已知实数x，y满足5] ．

【分析】方程两边平方整理，设参数t，再由x的范围求出参数t的范围． 解：1）2＝16，

整理x+y+2xy+2y﹣2x＝15，即（x+y）+2y﹣2x＝15，设t＝x+y＞0，y＝t﹣x， 则方程整理为：t+2t﹣4x＝15，所以4x＝t+2t﹣15， 因为

，所以4≥

＝

，所

2

2

2

2

4

4

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

，则x2+y2的取值范围为 （0，

两边平方可得：（x2﹣1）2+y4+y2（x+1）2+y2（x﹣

以|x2﹣1|≤4，所以x2≤5，4x2≤20，

所以t2+2t﹣15≤20，即t2+2t﹣35≤0，解得﹣7≤t≤5， 综上所述t∈（0，5]，故答案为：（0，5]．

17．在三棱锥P﹣ABC中，顶点P在底面的射影为△ABC的垂心O，且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面α，记∠PAM＝θ1，记α与底面ABC所成的锐二面角为θ2，当θ1取到最大，tanθ2＝

．

【分析】设AO＝1，PO＝2a，设θ3＝∠PAO，则tanθ2＝a，tanθ3＝2a，由正切加法定理得tanθ1＝tan（θ3﹣θ2）＝求出当θ1取到最大，tanθ2的值．

解：三棱锥P﹣ABC中，顶点P在底面的射影为△ABC的垂心O， 且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面α， 记∠PAM＝θ1，记α与底面ABC所成的锐二面角为θ2，

＝

≤

＝

，由此能

设AO＝1，PO＝2a，设θ3＝∠PAO，则tanθ2＝a，tanθ3＝2a， ∵tanθ1＝tan（θ3﹣θ2）＝

＝

≤

＝

，

当且仅当a＝时，等号成立，此时tanθ2＝

．

．

∴当θ1取到最大，tanθ2＝故答案为：

．

三、解答题（共5小题，满分0分） 18．已知函数f（x）＝sin2x+2cosx﹣1； （Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；

（Ⅱ）将函数f（x）分别向左、向右平移m（m＞0）个单位相应得到g（x）、h（x），且

，求函数

的值域．

2

【分析】（Ⅰ）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的减区间，解不等式可得所求区间；

（Ⅱ）由图象平移和二倍角的余弦公式、和差化积公式，化简函数y，再由正弦函数的图象和性质，可得所求值域．

解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝＝

sin（2x+

≤2x+

）， ≤2kπ+

，k∈Z，解得kπ+，kπ+

≤x≤kπ+

，

（

sin2x+

cos2x）

由2kπ+

可得f（x）的递减区间为[kπ+]，k∈Z；

（Ⅱ）由题意可得g（x）＝由

sin（2x+2m+

2

），h（x）＝sin（2x﹣2m+），

，可得cos（2m）＝2cosm﹣1＝﹣，

sin（2x+2m+sin（2x+

∈[

）， ，

]，即有sin（2x+

）∈[﹣

，1]，

）+

sin（2x﹣2m+

）＝2

sin（2x+

）

则y＝g（x）+h（x）＝?cos（2m）＝﹣由x∈[0，则﹣

]，可得2x+

sin（2x+）∈[﹣，]，即函数y的值域为[﹣，]． ，四边形BCED19．在如图的空间几何体中，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝2为直角梯形，∠DBC＝90°，BD＝1，DE＝（Ⅰ）证明：DF∥平面ACE； （Ⅱ）若AD＝

，求CE与平面ADB所成角的正弦值．

，F为AB中点．

【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG，推导出DE进而DF∥EG，由此能证明DF∥平面ACE．

FG，从而四边形DFGE是平行四边形，

（Ⅱ）延长CE、BD，交于点P，连结AP，则CE与平面ADB所成角就是CP与平面PAB所成角，作EH⊥AD，则EH⊥平面ADB，∠EPH是直线CP与平面PAB所成角，由此能求出

CE与平面ADB所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连结FG，则FG∵DEBC，

BC，∴DEFG，

∴四边形DFGE是平行四边形，∴DF∥EG， ∵DF?平面ACE，EG?平面ACE， ∴DF∥平面ACE．

（Ⅱ）解：延长CE、BD，交于点P，连结AP， 则CE与平面ADB所成角就是CP与平面PAB所成角，

∵BD＝1，AD＝

2

2

2

，AB＝2，

∴BD+AD＝AB，∴BD⊥AD，

∵BD⊥DE，AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE， ∵BD?平面ADB，∴平面ADB⊥平面ADE， ∵平面ADB∩平面ADE＝AD， 作EH⊥AD，则EH⊥平面ADB， ∴∠EPH是直线CP与平面PAB所成角， ∵PB＝AB＝2，∠PBA＝60°， ∴△PAB是等边三角形，∴PA＝2，

∴PA＝AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，且PC＝2∵AE2+DE2＝AD2，∴AE⊥DE， ∴

＝

，PE＝

，

＝

． ，∴AE＝1，

∴CE与平面ADB所成角的正弦值为sin