抽象函数经典习题

又当x>0时，0< f（x）<1，所以f（0）=1 设x<0，则－x>0

令m=x，n=－x，则f（0）= f（x）·f（－x） 所以f（x）·f（－x）=1

1f(?x)又0< f（－x）<1，所以f(x)??1

（2）设x，且x1?x2，则x 、x?R?x?01221所以0 ?f(x?x)?121从而f (xf)??(xx?xf)??(xx)(·fx)2212211又由已知条件及（1）的结论知f（x）>0恒成立

f(x)2f(x)1所以

?f(x?x) 21所以0?f(x2)f(x1)?1

所以f（x2）< f（x1），故f（x）在R上是单调递减的。

（3）由得：f(x?y)?f()1

22因为f（x）在R上单调递减

所以x?y?1，即A表示圆x?y?1的内部 由f（ax－y+2）=1= f（0）得：ax－y+2=0 所以B表示直线ax－y+2=0

21?a22222∩B??，所以直线与圆相切或相离，即所以A?1

a?3解得：?3?

12.定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+ f（a－b）=2 f（a）·f（b）成立，且f(0)?0。

（1）求f（0）的值；

（2）试判断f（x）的奇偶性；

（3）若存在常数c>0使f()?0，试问f（x）是否为周期函数？若是，指出它的一个

2c周期；若不是，请说明理由。

解：（1）令a=b=0

则f（0）+ f（0）=2 f（0）·f（0） 所以2 f（0）·[f（0）－1]=0 又因为f(0)?0，所以f（0）=1

（2）令a=0，b=x，则f（x）+ f（－x）=2 f（0）·f（x） 由f（0）=1可得f（－x）= f（x） 所以f（x）是R上的偶函数。 （3）令a?x?，b?，则

22ccc?????c?c?c?c?c???fx???fx???2fx?·f ????????????????????222222????因为f???0

?c??2?所以f（x+c）+ f（x）=0 所以f（x+c）=－ f（x）

所以f（x+2c）=－ f（x+c）= －[－f（x）]= f（x） 所以f（x）是以2c为周期的周期函数。

16.设定义在R上的函数f(x)对于任意x,y都有f(x?y)?f(x)?f(y)成立，且

f(1)??2，当x?0时，f(x)?0。

（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；

（2）试问：当-2003≤x≤2003时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，

说明理由；

（3）解关于x的不等式

12f(bx)?f(x)?212f(bx)?f(b)，其中b?2.

22分析与解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0

令y=-x，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数 ⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2

则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因为x＞0时，f(x)＜0， 故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0。

∴f(x2)＜f(x1)、f(x)在区间[－2003、2003]上单调递减

∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=4006。 x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)= －4006。 ⑶由原不等式，得

2

2

12[f(bx2) －f(b2x)]＞f(x) －f(b)。

即f(bx)+f(－bx)＞2[f(x)+f(－b)]

∴f(bx2－b2x)＞2 f(x－b)，即f[bx(x－b)]＞f(x－b)+f(x－b)

∴f[bx(x－b)]＞f[2 f(x－b)]

由f(x)在x∈R上单调递减，所以bx(x－b)＜2(x－b)，∴(x－b)(bx－2) ＜0

2

∵b≥2, ∴b≥2或b≤－2

当b＞2时，b＞

2b，不等式的解集为?x|????x?b? b?2?? b?2当b＜－2时，b＜

2b，不等式的解集为?x|x?b或x???当b=－2时，不等式的解集为x|x??2,且x?R 当b=2时，不等式解集为φ

17.已知定义在R上的函数f?x?满足：

（1）值域为??1,1?，且当x?0时，?1?f?x??0； （2）对于定义域内任意的实数x,y，均满足：f?m?n??试回答下列问题： （Ⅰ）试求f?0?的值；

（Ⅱ）判断并证明函数f?x?的单调性；

?1??1??（Ⅲ）若函数f?x?存在反函数g?x?，求证：g???g?????g??5??11???1? ?g???．2?n?3n?1??2?1??f?m??f?n?1?f?m?f?n?

分析与解：（Ⅰ）在f?m?n??f?m1?f??fn??中，令m?0,n?0，则有f?m??f?m??f?0?．即：

1?f?m?f?0??m?fn??2?．也即：f0fm?0． f?m??1?fmf0?fm?f0?????????1????????????由于函数f?x?的值域为??1,1?，所以，??f?m???1??0，所以f?0??0．

??2（Ⅱ）函数f?x?的单调性必然涉及到f?x??f?y?，于是，由已知 f?m?n??f?m??f?n?1?f?m?f?n?，我们可以联想到：是否有f?m?n??f?m??f?n?1?f?m?f?n?？（＊）

这个问题实际上是：f??n???f?n?是否成立？

为此，我们首先考虑函数f?x?的奇偶性，也即f??x?与f?x?的关系．由于f?0??0，所以，在f?m?n??f?m??f?n?1?f?m?f?n?中，令n??m，得fm?fm??????0．所以，函数f?x?为奇函数．故（＊）式成立．所以，f?m??f?n??f?m?n???1?f?m?f?n???．任取

x1,x2?R，且x1?x2，则x2?x1?0，故f?x2?x1??0且?1?f?x2?,f?x1??1．所以，

f?x2??f?x1??f?x2?x1???1?f?x2?f?x1????0，所以，函数f?x?在R上单调递减．

（Ⅲ）由于函数f?x?在R上单调递减， 所以，函数f?x?必存在反函数g?x?，

由原函数与反函数的关系可知：g?x?也为奇函数；g?x?在??1,1?上单调递减；且当

?1?x?0时，g?x??0．

为了证明本题，需要考虑g?x?的关系式．

?f?m??f?n???，

?1?f?m?f?n??x?y???1?xy?在（＊）式的两端，同时用g作用，得：m?n?g?x?n,?gy?令f?m??x,f?n??y，则m?g??，则上式可改写为：g?x??g?y??g??．

不难验证：对于任意的x,y???1,1?，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了g?x?的关系式．